গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $A = 60°$ হলে $\sec^2 A + \tan^2 A = \sec^2 60° + \tan^2 60° = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 =$ ৭

2. খ)

   দেওয়া আছে, $M = \cot\theta + \cos\theta$ এবং $N = \cot\theta - \cos\theta$

   $M^2 - N^2 = (M+N)(M-N) = (2\cot\theta)(2\cos\theta) = 4\cot\theta\cos\theta$

   তাহলে $(M^2 - N^2)^2 = 16\cot^2\theta\cos^2\theta$ ... (i)

   আবার $MN = (\cot\theta + \cos\theta)(\cot\theta - \cos\theta) = \cot^2\theta - \cos^2\theta$

   $= \dfrac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} - \cos^2\theta = \cos^2\theta\left(\dfrac{1 - \sin^2\theta}{\sin^2\theta}\right) = \cos^2\theta \cdot \dfrac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \cos^2\theta\cot^2\theta$

   সুতরাং $16MN = 16\cos^2\theta\cot^2\theta$ ... (ii)

   (i) ও (ii) থেকে, $(M^2 - N^2)^2 = 16MN$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   কিলোমিটার পোস্ট দুটি পরপর অবস্থিত, তাই $PQ = 1$ কিমি $= 1000$ মিটার।

   ধরি, বেলুনের অবস্থান $S$, মাটি থেকে উচ্চতা $SR = h$ মিটার, যেখানে $R$ হলো $PQ$ এর ওপর $S$ এর পাদবিন্দু।

   অবনতি কোণ $P$ এর জন্য $60°$ হলে $\angle SPR = 60°$ এবং $Q$ এর জন্য $\angle SQR = 45°$।

   $\triangle SPR$ এ $\tan 60° = \dfrac{h}{PR}$, তাই $PR = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$

   $\triangle SQR$ এ $\tan 45° = \dfrac{h}{QR}$, তাই $QR = h$

   $PR + QR = PQ$

   বা, $\dfrac{h}{\sqrt{3}} + h = 1000$

   বা, $h\left(\dfrac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right) = 1000$

   বা, $h = \dfrac{1000\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{1000\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{2} = 500(3 - \sqrt{3})$

   $= 500 \times 1.268 = 634$ (প্রায়)

   অতএব, মাটি থেকে বেলুনটির উচ্চতা প্রায় ৬৩৪ মিটার।