উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত মূল $= \frac{1}{2 + 3i} = \frac{2 - 3i}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac{2 - 3i}{2^2 - (3i)^2} = \frac{2 - 3i}{4 + 9} = \frac{2 - 3i}{13}$

   বাস্তব সহগবিশিষ্ট সমীকরণের জটিল মূলগুলো যুগলে (অনুবন্ধী আকারে) থাকে।
   অতএব অপর মূলটি হবে $= \frac{2 + 3i}{13}$

   মূলদ্বয়ের যোগফল $= \frac{2 - 3i}{13} + \frac{2 + 3i}{13} = \frac{4}{13}$
   মূলদ্বয়ের গুণফল $= \left(\frac{2 - 3i}{13}\right)\left(\frac{2 + 3i}{13}\right) = \frac{4 - 9i^2}{169} = \frac{13}{169} = \frac{1}{13}$

   অতএব, নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো:
   $x^2 - (\text{মূলদ্বয়ের যোগফল})x + (\text{মূলদ্বয়ের গুণফল}) = 0$
   $\implies x^2 - \frac{4}{13}x + \frac{1}{13} = 0$
   $\implies 13x^2 - 4x + 1 = 0$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকানুসারে, $L = 0$
   $\implies mx^2 + nx + n = 0$

   ধরি, সমীকরণটির মূল দুটি $\alpha$ ও $\beta$।
   প্রশ্নমতে, $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p}{q}$
   মূলদ্বয়ের সম্পর্ক হতে পাই:
   $\alpha + \beta = -\frac{n}{m}$
   $\alpha\beta = \frac{n}{m}$

   এখন,
   বামপক্ষ $= \sqrt{\frac{p}{q}} + \sqrt{\frac{q}{p}} + \sqrt{\frac{n}{m}}$
   $= \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} + \sqrt{\frac{n}{m}}$
   $= \frac{\alpha + \beta}{\sqrt{\alpha\beta}} + \sqrt{\frac{n}{m}}$
   $= \frac{-\frac{n}{m}}{\sqrt{\frac{n}{m}}} + \sqrt{\frac{n}{m}}$
   $= -\sqrt{\frac{n}{m}} + \sqrt{\frac{n}{m}} = 0 =$ ডানপক্ষ।

   $\therefore \sqrt{\frac{p}{q}} + \sqrt{\frac{q}{p}} + \sqrt{\frac{n}{m}} = 0$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $S = T$
   $\implies 6x^3 - 20x^2 + 5 = 6 - 6x - 9x^2$
   $\implies 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1 = 0$

   প্রশ্নমতে, এই সমীকরণের মূলগুলো সমান্তর প্রগমনের গৌণিক বিপরীত প্রগমনভুক্ত (অর্থাৎ মূলগুলো বিপরীত প্রগমন বা Harmonic Progression-এ আছে)।
   অতএব, $x = \frac{1}{y}$ বসালে প্রাপ্ত সমীকরণের মূলগুলো সমান্তর প্রগমনভুক্ত (Arithmetic Progression) হবে।

   সমীকরণে $x = \frac{1}{y}$ বসিয়ে পাই,
   $6\left(\frac{1}{y}\right)^3 - 11\left(\frac{1}{y}\right)^2 + 6\left(\frac{1}{y}\right) - 1 = 0$
   $\implies \frac{6}{y^3} - \frac{11}{y^2} + \frac{6}{y} - 1 = 0$
   উভয়পক্ষকে $-y^3$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $y^3 - 6y^2 + 11y - 6 = 0$

   ধরি, $y$ সমীকরণের মূল তিনটি সমান্তর প্রগমনে রয়েছে এবং সেগুলো হলো $a - d, a, a + d$।
   মূলগুলোর যোগফল:
   $(a - d) + a + (a + d) = -(-6) = 6$
   $\implies 3a = 6 \implies a = 2$

   যেহেতু $a = 2$ সমীকরণটির একটি মূল,
   $y = 2$ বসালে সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
   এখন সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
   $y^3 - 6y^2 + 11y - 6 = 0$
   $\implies y^2(y - 2) - 4y(y - 2) + 3(y - 2) = 0$
   $\implies (y - 2)(y^2 - 4y + 3) = 0$
   $\implies (y - 2)(y - 1)(y - 3) = 0$
   $\therefore y = 1, 2, 3$

   যেহেতু $x = \frac{1}{y}$,
   সুতরাং $x$ এর মানসমূহ হবে:
   $x = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}$।