উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

A=[413M],B=[pqrp2q2r2p3−1q3−1r3−1]A=\left[\begin{array}{cc}4 & 1 \\ 3 & M\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ccc}p & q & r \\ p^{2} & q^{2} & r^{2} \\ p^{3}-1 & q^{3}-1 & r^{3}-1\end{array}\right] এবং C=[012123311]C=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right]

  1. ক)

    M এর মান কত হলে A ম্যাট্রিক্সের ট্রেস 5 হবে?

    (2)
  2. খ)

    দেখাও যে, ∣B∣=(pqr−1)(p−q)(q−r)(r−p)|B|=(p q r-1)(p-q)(q-r)(r-p).

    (4)
  3. গ)

    C−1\mathrm{C}^{-1} নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, A=[413M]A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & M \end{bmatrix}

    আমরা জানি, কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলোর যোগফলকে ম্যাট্রিক্সটির ট্রেস (Trace) বলা হয়।
    অতএব, AA ম্যাট্রিক্সের ট্রেস =4+M= 4 + M

    প্রশ্নমতে,
    4+M=54 + M = 5
      ⟹  M=5−4=1\implies M = 5 - 4 = 1

    নির্ণেয় মান M=1M = 1।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    ∣B∣=∣pqrp2q2r2p3−1q3−1r3−1∣|B| = \begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ p^3 - 1 & q^3 - 1 & r^3 - 1 \end{vmatrix}

    নির্ণায়কের ধর্মাবলম্বনে তৃতীয় সারিকে ভেঙে পাই:
    ∣B∣=∣pqrp2q2r2p3q3r3∣+∣pqrp2q2r2−1−1−1∣|B| = \begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ p^3 & q^3 & r^3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix}

    প্রথম নির্ণায়কের প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় কলাম থেকে যথাক্রমে p,q,rp, q, r সাধারণ নিলে:
    ∣B∣=pqr∣111pqrp2q2r2∣−∣pqrp2q2r2111∣|B| = pqr \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}

    দ্বিতীয় নির্ণায়কে সারি বিনিময় করে:
    R3↔R1R_3 \leftrightarrow R_1 করলে চিহ্নের পরিবর্তন হয়, আবার R2↔R3R_2 \leftrightarrow R_3 করলে চিহ্নের পরিবর্তন বাতিল হয়ে পূর্বের ন্যায় হয়:
    ∣pqrp2q2r2111∣=−∣111p2q2r2pqr∣=∣111pqrp2q2r2∣\begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ p & q & r \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix}

    অতএব,
    ∣B∣=pqr∣111pqrp2q2r2∣−∣111pqrp2q2r2∣|B| = pqr \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix}
    =(pqr−1)∣111pqrp2q2r2∣= (pqr - 1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix}

    এখন কলাম রূপান্তর প্রয়োগ করি: C1′=C1−C2C_1' = C_1 - C_2 এবং C2′=C2−C3C_2' = C_2 - C_3:
    =(pqr−1)∣001p−qq−rrp2−q2q2−r2r2∣= (pqr - 1) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ p - q & q - r & r \\ p^2 - q^2 & q^2 - r^2 & r^2 \end{vmatrix}
    =(pqr−1)(p−q)(q−r)∣00111rp+qq+rr2∣= (pqr - 1) (p - q)(q - r) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & r \\ p + q & q + r & r^2 \end{vmatrix}

    প্রথম সারির সাপেক্ষে বিস্তার করে:
    =(pqr−1)(p−q)(q−r)[1⋅{(q+r)−(p+q)}]= (pqr - 1)(p - q)(q - r) [1 \cdot \{(q + r) - (p + q)\}]
    =(pqr−1)(p−q)(q−r)(r−p)= (pqr - 1)(p - q)(q - r)(r - p)

    অতএব, ∣B∣=(pqr−1)(p−q)(q−r)(r−p)|B| = (pqr - 1)(p - q)(q - r)(r - p) (দেখানো হলো)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    C=[012123311]C = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}

    প্রথমে ∣C∣|C| এর মান নির্ণয় করি:
    ∣C∣=0⋅(2−3)−1⋅(1−9)+2⋅(1−6)|C| = 0 \cdot (2 - 3) - 1 \cdot (1 - 9) + 2 \cdot (1 - 6)
    =0−1(−8)+2(−5)=8−10=−2≠0= 0 - 1(-8) + 2(-5) = 8 - 10 = -2 \neq 0
    যেহেতু ∣C∣≠0|C| \neq 0, সুতরাং C−1C^{-1} বিদ্যমান।

    এখন CC এর সহগুণকসমূহ (Cofactors) নির্ণয় করি:
    C11=+∣2311∣=2−3=−1C_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 3 = -1
    C12=−∣1331∣=−(1−9)=8C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 9) = 8
    C13=+∣1231∣=1−6=−5C_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5

    C21=−∣1211∣=−(1−2)=1C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 2) = 1
    C22=+∣0231∣=0−6=−6C_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 6 = -6
    C23=−∣0131∣=−(0−3)=3C_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - 3) = 3

    C31=+∣1223∣=3−4=−1C_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 4 = -1
    C32=−∣0213∣=−(0−2)=2C_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(0 - 2) = 2
    C33=+∣0112∣=0−1=−1C_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1

    সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ হলো adj(C)\text{adj}(C):
    adj(C)=[−18−51−63−12−1]T=[−11−18−62−53−1]\text{adj}(C) = \begin{bmatrix} -1 & 8 & -5 \\ 1 & -6 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix}

    অতএব, বিপরীত ম্যাট্রিক্স:
    C−1=1∣C∣adj(C)=−12[−11−18−62−53−1]=[12−1212−43−152−3212]C^{-1} = \frac{1}{|C|} \text{adj}(C) = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন