$A=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \ 2 & 3\end{array} ight]$ এবং $f(x)=x^{2}+k x+5$। যদি f(A) শূন্য ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে k এর মান কত হবে?

Question

$A=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \ 2 & 3\end{array}ight]$ এবং $f(x)=x^{2}+k x+5$। যদি f(A) শূন্য ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে k এর মান কত হবে?

Accepted Answer

গ. $\mathrm{k}=-4$

ব্যাখ্যা: কেলি-হ্যামিল্টন উপপাদ্য (Cayley-Hamilton Theorem) অনুযায়ী, প্রতিটি বর্গ ম্যাট্রিক্স তার নিজস্ব বৈশিষ্ট্যমূলক সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

ম্যাট্রিক্স $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \ 2 & 3 \end{bmatrix}$ এর বৈশিষ্ট্যমূলক সমীকরণ হলো:
$\det(A - \lambda I) = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} 1 - \lambda & -1 \ 2 & 3 - \lambda \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow (1 - \lambda)(3 - \lambda) - (-2) = 0$
$\Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 3 + 2 = 0$
$\Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 5 = 0$

অতএব, কেলি-হ্যামিল্টনের উপপাদ্য অনুসারে,
$A^2 - 4A + 5I = 0$

প্রদত্ত বহুপদী $f(x) = x^2 + kx + 5$ এর জন্য $f(A) = A^2 + kA + 5I = 0$ হতে হলে,
$k = -4$ হবে।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন