উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ব্যতিক্রমী (singular) ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য হয়।
   অতএব,
   $\begin{vmatrix} m+4 & 6 \\ 4 & m+2 \end{vmatrix} = 0$
   $\Rightarrow (m+4)(m+2) - 24 = 0$
   $\Rightarrow m^2 + 6m + 8 - 24 = 0$
   $\Rightarrow m^2 + 6m - 16 = 0$
   $\Rightarrow (m+8)(m-2) = 0$
   $\therefore m = 2 \text{ অথবা } m = -8$

   নির্ণেয় মান: $m = 2, -8$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $x = y = a = b = 1$ এবং $c = 2$।
   মানগুলো $A$-তে বসিয়ে পাই:
   $a+b = 1+1 = 2$
   $b+c = 1+2 = 3$
   $(a+b)x + (b+c)y = 2(1) + 3(1) = 5$
   $b = 1, \quad c = 2, \quad bx+cy = 1(1) + 2(1) = 3$
   $ax+by = 1(1) + 1(1) = 2$
   $bx+cy = 3$

   অতএব,
   $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix}$

   এখন,
   $A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 4+3+10 & 6+6+15 & 10+9+0 \\ 2+2+6 & 3+4+9 & 5+6+0 \\ 4+3+0 & 6+6+0 & 10+9+0 \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 17 & 27 & 19 \\ 10 & 16 & 11 \\ 7 & 12 & 19 \end{bmatrix}$

   প্রদত্ত ফাংশন $f(x) = 2x^2 - 5x + 6$ অনুসারে,
   $f(A) = 2A^2 - 5A + 6I$
   $= 2\begin{bmatrix} 17 & 27 & 19 \\ 10 & 16 & 11 \\ 7 & 12 & 19 \end{bmatrix} - 5\begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix} + 6\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 34 & 54 & 38 \\ 20 & 32 & 22 \\ 14 & 24 & 38 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 10 & 15 & 25 \\ 5 & 10 & 15 \\ 10 & 15 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 34-10+6 & 54-15+0 & 38-25+0 \\ 20-5+0 & 32-10+6 & 22-15+0 \\ 14-10+0 & 24-15+0 & 38-0+6 \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 30 & 39 & 13 \\ 15 & 28 & 7 \\ 4 & 9 & 44 \end{bmatrix}$

   অতএব, $f(A) = \begin{bmatrix} 30 & 39 & 13 \\ 15 & 28 & 7 \\ 4 & 9 & 44 \end{bmatrix}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $A = \begin{bmatrix} a+b & b+c & (a+b)x+(b+c)y \\ b & c & bx+cy \\ ax+by & bx+cy & 0 \end{bmatrix}$

   নির্ণায়কের কলাম অপারেশন $C_3' = C_3 - xC_1 - yC_2$ প্রয়োগ করে পাই:
   $\det(A) = \begin{vmatrix} a+b & b+c & 0 \\ b & c & 0 \\ ax+by & bx+cy & -(ax+by)x - (bx+cy)y \end{vmatrix}$

   এখানে ৩য় কলামের ৩য় ভুক্তি:
   $-(ax^2 + byx + bxy + cy^2) = -(ax^2 + 2bxy + cy^2)$

   অতএব, ৩য় কলাম সাপেক্ষে বিস্তার করে পাই:
   $\det(A) = -(ax^2 + 2bxy + cy^2) \begin{vmatrix} a+b & b+c \\ b & c \end{vmatrix}$

   এখন,
   $\begin{vmatrix} a+b & b+c \\ b & c \end{vmatrix} = c(a+b) - b(b+c) = ac + bc - b^2 - bc = ac - b^2$

   সুতরাং,
   $\det(A) = -(ax^2 + 2bxy + cy^2)(ac - b^2)$

   যেহেতু $\det(A) = 0$ এবং দেওয়া আছে $b^2 \ne ac$ অর্থাৎ $ac - b^2 \ne 0$, তাই:
   $ax^2 + 2bxy + cy^2 = 0$

   উভয়পক্ষকে $a$ দ্বারা গুণ করে পাই ($a \ne 0$ ধরে):
   $a^2 x^2 + 2abxy + acy^2 = 0$
   $\Rightarrow (a^2 x^2 + 2abxy + b^2 y^2) + acy^2 - b^2 y^2 = 0$
   $\Rightarrow (ax + by)^2 + (ac - b^2)y^2 = 0$

   (দেখানো হলো)