উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $3x^2 - mx + 25 = 0$
   ধরি, সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha_1$ এবং $3\alpha_1$।

   মূলদ্বয়ের যোগফল:
   $\alpha_1 + 3\alpha_1 = -\frac{-m}{3} \implies 4\alpha_1 = \frac{m}{3} \implies \alpha_1 = \frac{m}{12}$

   মূলদ্বয়ের গুণফল:
   $\alpha_1 \cdot 3\alpha_1 = \frac{25}{3} \implies 3\alpha_1^2 = \frac{25}{3} \implies \alpha_1^2 = \frac{25}{9} \implies \alpha_1 = \pm \frac{5}{3}$

   অতএব,
   $\frac{m}{12} = \pm \frac{5}{3} \implies m = \pm 20$
   নির্ণেয় মান: $m = \pm 20$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $x^3 + qx + r = 0$ সমীকরণের মূলগুলো $\alpha, \beta, \gamma$ হওয়ায়:
   $\alpha + \beta + \gamma = 0 \implies \beta + \gamma = -\alpha$
   $\alpha\beta\gamma = -r \implies \beta\gamma = -\frac{r}{\alpha}$

   যেহেতু $\alpha$ সমীকরণটির একটি মূল:
   $\alpha^3 + q\alpha + r = 0 \implies \alpha^3 = -q\alpha - r$

   এখন,
   $(\beta - \gamma)^2 = (\beta + \gamma)^2 - 4\beta\gamma$
   $= (-\alpha)^2 - 4\left(-\frac{r}{\alpha}\right) = \alpha^2 + \frac{4r}{\alpha} = \frac{\alpha^3 + 4r}{\alpha}$
   $= \frac{-q\alpha - r + 4r}{\alpha} = \frac{3r - q\alpha}{\alpha}$
   (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যেহেতু $\alpha + \beta + \gamma = 0$, তাই:
   $\frac{\beta+\gamma}{\alpha^3} = -\frac{1}{\alpha^2}, \quad \frac{\gamma+\alpha}{\beta^3} = -\frac{1}{\beta^2}, \quad \frac{\alpha+\beta}{\gamma^3} = -\frac{1}{\gamma^2}$

   ধরি, $y = -\frac{1}{x^2} \implies x^2 = -\frac{1}{y}$।
   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $x(x^2 + q) = -r$
   বর্গ করে পাই,
   $x^2(x^2 + q)^2 = r^2$
   $x^2 = -\frac{1}{y}$ বসিয়ে,
   $-\frac{1}{y}\left(-\frac{1}{y} + q\right)^2 = r^2$
   $\implies -\frac{(qy - 1)^2}{y^3} = r^2$
   $\implies r^2y^3 + q^2y^2 - 2qy + 1 = 0$
   চলক $x$-এ লিখলে সমীকরণটি হয়:
   $r^2x^3 + q^2x^2 - 2qx + 1 = 0$