উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $x^2 + 4y^2 = 1$
   বা, $\frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = 1$

   এটি $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ আকারের একটি উপবৃত্ত, যেখানে $a = 1$ এবং $b = \frac{1}{2}$।
   যেহেতু $a > b$, সুতরাং কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা,
   $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{(1/2)^2}{1^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যেহেতু নিয়ামকরেখাটি $x$-অক্ষরেখার উপর লম্ব, তাই এর সমীকরণ:
   $x = k$
   রেখাটি $(8, 0)$ বিন্দুগামী হওয়ায়,
   $8 = k \implies k = 8$
   সুতরাং নিয়ামকরেখার সমীকরণ: $x - 8 = 0$

   দৃশ্যকল্প-১ হতে,
   উপকেন্দ্র, $S = (2, 0)$ এবং উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$

   ধরি, উপবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$।
   $P$ বিন্দু হতে নিয়ামকরেখা $x - 8 = 0$ এর লম্বদূরত্ব,
   $PM = \frac{|x - 8|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = |x - 8|$

   উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
   $SP = e \cdot PM$
   $\implies SP^2 = e^2 \cdot PM^2$
   $\implies (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 (x - 8)^2$
   $\implies x^2 - 4x + 4 + y^2 = \frac{1}{2}(x^2 - 16x + 64)$
   $\implies 2(x^2 + y^2 - 4x + 4) = x^2 - 16x + 64$
   $\implies 2x^2 + 2y^2 - 8x + 8 = x^2 - 16x + 64$
   $\implies x^2 + 2y^2 + 8x - 56 = 0$ (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ হতে পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু $A(-2, 1)$ এবং উপকেন্দ্র $S(-6, -3)$।
   ধরি, পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামকরেখার ছেদবিন্দু $Z(\alpha, \beta)$।
   আমরা জানি, শীর্ষবিন্দু $A$, উপকেন্দ্র $S$ ও নিয়ামকের ছেদবিন্দু $Z$-এর মধ্যবিন্দু।
   $\therefore \frac{-6 + \alpha}{2} = -2 \implies -6 + \alpha = -4 \implies \alpha = 2$
   এবং $\frac{-3 + \beta}{2} = 1 \implies -3 + \beta = 2 \implies \beta = 5$
   $\therefore Z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(2, 5)$।

   অক্ষরেখা $AS$-এর ঢাল, $m_1 = \frac{-3 - 1}{-6 - (-2)} = \frac{-4}{-4} = 1$
   যেহেতু নিয়ামকরেখা অক্ষের ওপর লম্ব, তাই নিয়ামকরেখার ঢাল $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -1$
   অতএব, $Z(2, 5)$ বিন্দুগামী নিয়ামকরেখার সমীকরণ:
   $y - 5 = -1(x - 2)$
   $\implies y - 5 = -x + 2$
   $\implies x + y - 7 = 0$

   ধরি, পরাবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$।
   পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
   $SP = PM$ [যেখানে $PM$ হলো $P$ বিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব]
   $\implies SP^2 = PM^2$
   $\implies (x - (-6))^2 + (y - (-3))^2 = \left(\frac{|x + y - 7|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}\right)^2$
   $\implies (x + 6)^2 + (y + 3)^2 = \frac{(x + y - 7)^2}{2}$
   $\implies 2[(x^2 + 12x + 36) + (y^2 + 6y + 9)] = x^2 + y^2 + 49 + 2xy - 14x - 14y$
   $\implies 2(x^2 + y^2 + 12x + 6y + 45) = x^2 + y^2 + 2xy - 14x - 14y + 49$
   $\implies 2x^2 + 2y^2 + 24x + 12y + 90 = x^2 + 2xy + y^2 - 14x - 14y + 49$
   $\implies x^2 - 2xy + y^2 + 38x + 26y + 41 = 0$
   বা, $(x - y)^2 + 38x + 26y + 41 = 0$

   সুতরাং নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ: $x^2 - 2xy + y^2 + 38x + 26y + 41 = 0$