উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $P(A) = \frac{1}{3}$ এবং $P(B) = \frac{1}{6}$

   যেহেতু $A$ ও $B$ স্বাধীন ঘটনা,
   সুতরাং, $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

   শর্তাধীন সম্ভাবনার সংজ্ঞানুযায়ী,
   $P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
   $= \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)}$
   $= P(A) = \frac{1}{3}$

   উত্তর: $\frac{1}{3}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি প্রস্তুত করে ভেদাঙ্ক নির্ণয় করা হলো:

   ধরি, অনুমিত গড় $a = 45.5$ এবং শ্রেণি ব্যবধান $c = 10$।
   ধাপ বিচ্যুতি, $u_i = \frac{x_i - a}{c} = \frac{x_i - 45.5}{10}$

   শ্রেণিব্যাপ্তি	শ্রেণির মধ্যবিন্দু ($x_i$)	গণসংখ্যা ($f_i$)	ধাপ বিচ্যুতি ($u_i$)	$f_i u_i$	$f_i u_i^2$
   ২১-৩০	২৫.৫	১০	-২	-২০	৪০
   ৩১-৪০	৩৫.৫	১৫	-১	-১৫	১৫
   ৪১-৫০	৪৫.৫	২০	০	০	০
   ৫১-৬০	৫৫.৫	১৭	১	১৭	১৭
   ৬১-৭০	৬৫.৫	৮	২	১৬	৩২
   মোট		$N = \sum f_i = ৭০$		$\sum f_i u_i = -২$	$\sum f_i u_i^2 = ১০৪$

   আমরা জানি,
   ভেদাঙ্ক, $\sigma^2 = c^2 \left[ \frac{\sum f_i u_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i u_i}{N}\right)^2 \right]$

   মান বসিয়ে পাই,
   $\sigma^2 = 10^2 \left[ \frac{104}{70} - \left(\frac{-2}{70}\right)^2 \right]$
   $= 100 \left[ \frac{104}{70} - \frac{4}{4900} \right]$
   $= 100 \left[ \frac{7280 - 4}{4900} \right]$
   $= 100 \times \frac{7276}{4900}$
   $= \frac{7276}{49} \approx 148.49$

   উত্তর: ভেদাঙ্ক ১৪৮.৪৯ (প্রায়)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে,
   ব্যাগে লাল বল = ৭টি
   কালো বল = ৫টি
   সাদা বল = ৪টি
   মোট বলের সংখ্যা = $৭ + ৫ + ৪ = ১৬$টি।
   লাল বল ব্যতীত অন্য রঙের বলের সংখ্যা = $৫ + ৪ = ৯$টি।

   ১৬টি বল হতে দৈবভাবে ৩টি বল তোলার সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল:
   $n(S) = {}^{16}C_3 = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560$

   কমপক্ষে ২টি লাল বল হওয়ার শর্তানুসারে, ৩টি বলের মধ্যে ঠিক ২টি লাল অথবা ৩টিই লাল বল হতে পারে।

   ১. ২টি লাল এবং ১টি অন্য রঙের বল তোলার উপায় = ${}^7C_2 \times {}^9C_1 = 21 \times 9 = 189$
   ২. ৩টিই লাল বল তোলার উপায় = ${}^7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

   সুতরাং, কমপক্ষে ২টি লাল বল পাওয়ার অনুকূল ফলাফল:
   $n(A) = 189 + 35 = 224$

   অতএব, কমপক্ষে ২টি লাল বল হওয়ার সম্ভাব্যতা:
   $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{224}{560} = \frac{2}{5} = 0.4$

   উত্তর: $\frac{2}{5}$ বা $0.4$