উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০১৭

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

A=[142403232],B=[xyz],C=[254]A=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 2 \\ 4 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 4\end{array}\right]

  1. ক)

    A×C\mathrm{A} \times \mathrm{C} নির্ণয় করে উহার মাত্রা নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    A×B=C\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\mathrm{C} নির্ণয় করে উহার মান নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    A=[142403232]A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 4 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 2 \end{bmatrix}, যার মাত্রা 3×33 \times 3
    এবং C=[254]C = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{bmatrix}, যার মাত্রা 3×13 \times 1।

    যেহেতু AA এর কলাম সংখ্যা এবং CC এর সারি সংখ্যা উভয়ই 3, তাই ACAC গুণন সম্ভব।

    AC=[142403232][254]AC = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 4 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{bmatrix}
    =[1(2)+4(5)+2(4)4(2)+0(5)+3(4)2(2)+3(5)+2(4)]= \begin{bmatrix} 1(2) + 4(5) + 2(4) \\ 4(2) + 0(5) + 3(4) \\ 2(2) + 3(5) + 2(4) \end{bmatrix}
    =[2+20+88+0+124+15+8]=[302027]= \begin{bmatrix} 2 + 20 + 8 \\ 8 + 0 + 12 \\ 4 + 15 + 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30 \\ 20 \\ 27 \end{bmatrix}

    অতএব, AC=[302027]AC = \begin{bmatrix} 30 \\ 20 \\ 27 \end{bmatrix} এবং উহার মাত্রা 3×13 \times 1।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, A=[142403232]A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 4 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 2 \end{bmatrix}

    ∣A∣=1(0−9)−4(8−6)+2(12−0)|A| = 1(0 - 9) - 4(8 - 6) + 2(12 - 0)
    =1(−9)−4(2)+2(12)=−9−8+24=7≠0= 1(-9) - 4(2) + 2(12) = -9 - 8 + 24 = 7 \neq 0
    যেহেতু ∣A∣≠0|A| \neq 0, তাই A−1A^{-1} বিদ্যমান।

    AA এর উপাদানগুলোর সহগুণকসমূহ:
    A11=+(0−9)=−9A_{11} = + (0 - 9) = -9
    A12=−(8−6)=−2A_{12} = - (8 - 6) = -2
    A13=+(12−0)=12A_{13} = + (12 - 0) = 12
    A21=−(8−6)=−2A_{21} = - (8 - 6) = -2
    A22=+(2−4)=−2A_{22} = + (2 - 4) = -2
    A23=−(3−8)=5A_{23} = - (3 - 8) = 5
    A31=+(12−0)=12A_{31} = + (12 - 0) = 12
    A32=−(3−8)=5A_{32} = - (3 - 8) = 5
    A33=+(0−16)=−16A_{33} = + (0 - 16) = -16

    সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ হলো:
    adj(A)=[−9−212−2−25125−16]\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -9 & -2 & 12 \\ -2 & -2 & 5 \\ 12 & 5 & -16 \end{bmatrix}

    অতএব,
    A−1=1∣A∣adj(A)=17[−9−212−2−25125−16]A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} -9 & -2 & 12 \\ -2 & -2 & 5 \\ 12 & 5 & -16 \end{bmatrix}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, A×B=CA \times B = C
    ⇒B=A−1C\Rightarrow B = A^{-1} C

    'খ' হতে পাই, A−1=17[−9−212−2−25125−16]A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} -9 & -2 & 12 \\ -2 & -2 & 5 \\ 12 & 5 & -16 \end{bmatrix}

    অতএব,
    B=[xyz]=17[−9−212−2−25125−16][254]B = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} -9 & -2 & 12 \\ -2 & -2 & 5 \\ 12 & 5 & -16 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{bmatrix}
    =17[−9(2)+(−2)(5)+12(4)−2(2)+(−2)(5)+5(4)12(2)+5(5)+(−16)(4)]= \frac{1}{7} \begin{bmatrix} -9(2) + (-2)(5) + 12(4) \\ -2(2) + (-2)(5) + 5(4) \\ 12(2) + 5(5) + (-16)(4) \end{bmatrix}
    =17[−18−10+48−4−10+2024+25−64]= \frac{1}{7} \begin{bmatrix} -18 - 10 + 48 \\ -4 - 10 + 20 \\ 24 + 25 - 64 \end{bmatrix}
    =17[206−15]=[20767−157]= \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 20 \\ 6 \\ -15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{20}{7} \\ \frac{6}{7} \\ -\frac{15}{7} \end{bmatrix}

    সুতরাং, x=207x = \frac{20}{7}, y=67y = \frac{6}{7}, z=−157z = -\frac{15}{7}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন