উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: খ-অংশে প্রদর্শিত সমীকরণটি পাঠ্যবই ও বোর্ড পরীক্ষার প্রমিত প্রশ্ন অনুসারে $(c + a)^2 = b^2$ অথবা $c + a = \pm b$ হবে; প্রশ্নে মুদ্রিত $(c + a)^2 = b-$ কে টাইপো হিসেবে ধরে প্রমাণ সম্পন্ন করা হয়েছে।

   একটি মূল 3 + 2i হলে বাস্তব সহগবিশিষ্ট হওয়ায় অপর মূলটি হবে 3 - 2i।
   মূলদ্বয়ের যোগফল = 6 এবং গুণফল $= 3^2 - (2i)^2 = 9 + 4 = 13$।
   নির্ণেয় সমীকরণটি: $x^2 - 6x + 13 = 0$।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: খ-অংশে প্রদর্শিত সমীকরণটি পাঠ্যবই ও বোর্ড পরীক্ষার প্রমিত প্রশ্ন অনুসারে $(c + a)^2 = b^2$ অথবা $c + a = \pm b$ হবে; প্রশ্নে মুদ্রিত $(c + a)^2 = b-$ কে টাইপো হিসেবে ধরে প্রমাণ সম্পন্ন করা হয়েছে।

   ধরি সাধারণ মূলটি $\alpha$। সমীকরণদ্বয় সিদ্ধ করে বিয়োগ ও বজ্ৰগুণন করলে পাওয়া যায় $\alpha = \pm 1$ এবং $\alpha = -\frac{c+a}{b}$।
   সুতরাং, $-\frac{c+a}{b} = \pm 1 \implies c + a = \pm b \implies (c + a)^2 = b^2$।
   (প্রশ্নপত্রে উল্লিখিত $(c + a)^2 = b$ মূলত $(c + a)^2 = b^2$ এর মুদ্রণত্রুটি)।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: খ-অংশে প্রদর্শিত সমীকরণটি পাঠ্যবই ও বোর্ড পরীক্ষার প্রমিত প্রশ্ন অনুসারে $(c + a)^2 = b^2$ অথবা $c + a = \pm b$ হবে; প্রশ্নে মুদ্রিত $(c + a)^2 = b-$ কে টাইপো হিসেবে ধরে প্রমাণ সম্পন্ন করা হয়েছে।

   $x^3 + y^3 = (x + y)(x + \omega y)(x + \omega^2 y) = 0$।
   মান বসিয়ে পাই:
   x + y = 2q - p - r
   $x + \omega y = \omega^2(2p - q - r)$
   $x + \omega^2 y = \omega(2r - p - q)$
   যেহেতু গুণফল শূন্য এবং $\omega \neq 0$, সুতরাং 2p = q + r অথবা 2q = r + p অথবা 2r = p + q। (প্রমাণিত)