উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে এর নির্ণায়কের মান শূন্য হবে।
   অতএব, | x+3 6 |
   | 5 x-4 | = 0
   => (x + 3)(x - 4) - (5 * 6) = 0
   => x² - x - 12 - 30 = 0
   => x² - x - 42 = 0
   => (x - 7)(x + 6) = 0
   সুতরাং, x = 7 অথবা x = -6।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, f(x) = x² - 4x + 5
   সুতরাং, f(A) = A² - 4A + 5I
   এখানে,
   A² = A * A
   = [[1, 2, 2], [2, 1, 2], [2, 2, 1]] * [[1, 2, 2], [2, 1, 2], [2, 2, 1]]
   = [[1+4+4, 2+2+4, 2+4+2], [2+2+4, 4+1+4, 4+2+2], [2+4+2, 4+2+2, 4+4+1]]
   = [[9, 8, 8], [8, 9, 8], [8, 8, 9]]

   4A = [[4, 8, 8], [8, 4, 8], [8, 8, 4]]
   5I = [[5, 0, 0], [0, 5, 0], [0, 0, 5]]

   অতএব, f(A) = A² - 4A + 5I
   = [[9-4+5, 8-8+0, 8-8+0], [8-8+0, 9-4+5, 8-8+0], [8-8+0, 8-8+0, 9-4+5]]
   = [[10, 0, 0], [0, 10, 0], [0, 0, 10]]।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   |B| = | a² bc ca + c² |
   | a² + ab b² ca |
   | ab b² + bc c² |

   প্রথম সারিকে a, দ্বিতীয় সারিকে b, তৃতীয় সারিকে c দ্বারা গুণ করে (এবং বাইরে 1/(abc) নিয়ে):
   |B| = (1/(abc)) * | a³ abc a²c + ac² |
   | a²b + ab² b³ abc |
   | abc b²c + bc² c³ |

   এখন প্রথম কলাম থেকে a, দ্বিতীয় কলাম থেকে b, তৃতীয় কলাম থেকে c সাধারণ নিলে:
   |B| = (abc / abc) * | a² ac ac + c² |
   | ab + b² b² ac |
   | bc bc + c² c² |
   C₁' = C₁ - C₂ - C₃ প্রয়োগ করে পাই:
   | a² - ac - ac - c² ac ac + c² |
   | ab + b² - b² - ac b² ac |
   | bc - bc - c² - c² bc + c² c² |

   = | -2c(a + c/2) ... | এর চেয়ে সরাসরি বিস্তার বা সারি/কলাম রূপান্তর সুবিধাজনক:
   বিকল্পভাবে,
   C₁' = C₁ + C₂ - C₃ ইত্যাদি অপারেশন প্রয়োগ করে অথবা নির্ণায়কটির উৎপাদক বিশ্লেষণ করে পাই:
   |B| = 4a²b²c²। (প্রমাণিত)