উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \Rightarrow \tan\theta = \frac{3}{4}$।
   সমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করে, লম্ব = ৩, ভূমি = ৪, সুতরাং অতিভুজ = $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$।
   অতএব, $\sin\theta = \frac{3}{5} \Rightarrow \theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$।
   তাহলে, $\sin\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = \sin\left(\sin^{-1}\frac{3}{5}\right) = \frac{3}{5}$।

   এখন, ধরি $\phi = \cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \Rightarrow \cos\phi = \frac{3}{5}$।
   সমকোণী ত্রিভুজ থেকে, ভূমি = ৩, অতিভুজ = ৫, সুতরাং লম্ব = $\sqrt{5^2 - 3^2} = 4$।
   অতএব, $\cot\phi = \frac{3}{4} \Rightarrow \phi = \cot^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।

   সুতরাং, $\cot\cos^{-1}\sin\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = \cot\left(\cot^{-1}\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{4}$।
   উত্তর: $\frac{3}{4}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-১ থেকে পাই, $f(x) = \cos x$
   সুতরাং, $f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $\cos x + \frac{1}{\sqrt{3}}\sin x = \frac{1}{\sqrt{3}}$
   $\Rightarrow \sqrt{3}\cos x + \sin x = 1$

   উভয় পক্ষকে $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{2}$
   $\Rightarrow \cos x\cos\frac{\pi}{6} + \sin x\sin\frac{\pi}{6} = \cos\frac{\pi}{3}$
   $\Rightarrow \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{3}$

   সাধারণ সমাধান:
   $x - \frac{\pi}{6} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$, যেখানে $n \in \mathbb{Z}$
   $\Rightarrow x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$

   ধনাত্মক (+) চিহ্ন নিয়ে:
   $x = 2n\pi + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$
   $n = -1$ হলে, $x = -2\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2} \in (-2\pi, 2\pi)$
   $n = 0$ হলে, $x = \frac{\pi}{2} \in (-2\pi, 2\pi)$

   ঋণাত্মক (-) চিহ্ন নিয়ে:
   $x = 2n\pi - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = 2n\pi - \frac{\pi}{6}$
   $n = 0$ হলে, $x = -\frac{\pi}{6} \in (-2\pi, 2\pi)$
   $n = 1$ হলে, $x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \in (-2\pi, 2\pi)$

   সুতরাং, $(-2\pi, 2\pi)$ ব্যবধিতে সমীকরণটির সমাধান:
   $x = -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-২ হতে পাই,
   $\cot^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{1}{2}\sec^{-1}\left(\frac{1+y^2}{1-y^2}\right) + \frac{1}{2}\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{1+z^2}{2z}\right) = \pi$

   আমরা জানি,
   $\cot^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \tan^{-1}x$
   $\sec^{-1}\left(\frac{1+y^2}{1-y^2}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1-y^2}{1+y^2}\right) = 2\tan^{-1}y$
   $\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{1+z^2}{2z}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{2z}{1+z^2}\right) = 2\tan^{-1}z$

   সমীকরণে এই মানগুলো প্রতিস্থাপন করে পাই,
   $\tan^{-1}x + \frac{1}{2}\cdot 2\tan^{-1}y + \frac{1}{2}\cdot 2\tan^{-1}z = \pi$
   $\Rightarrow \tan^{-1}x + \tan^{-1}y + \tan^{-1}z = \pi$
   $\Rightarrow \tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \pi - \tan^{-1}z$
   $\Rightarrow \tan^{-1}\left(\frac{x + y}{1 - xy}\right) = \pi - \tan^{-1}z$

   উভয় পক্ষে tan প্রয়োগ করে পাই,
   $\frac{x + y}{1 - xy} = \tan(\pi - \tan^{-1}z)$
   $\Rightarrow \frac{x + y}{1 - xy} = -\tan(\tan^{-1}z)$ [যেহেতু $\tan(\pi - \theta) = -\tan\theta$]
   $\Rightarrow \frac{x + y}{1 - xy} = -z$
   $\Rightarrow x + y = -z(1 - xy)$
   $\Rightarrow x + y = -z + xyz$
   $\Rightarrow x + y + z = xyz$
   (প্রমাণিত)