$\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1+\cos x} \, dx$ এর মান কত?

Question

Accepted Answer

ঘ. +2

ব্যাখ্যা: ত্রিকোণমিতিক সূত্রানুসারে, $1 + \cos x = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$।
যেহেতু সীমা $0$ থেকে $\frac{\pi}{2}$, তাই $0 \le \frac{x}{2} \le \frac{\pi}{4}$, যেখানে $\cos\left(\frac{x}{2}\right) > 0$।

সুতরাং,
$\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1+\cos x} \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) dx$
$= \sqrt{2} \left[ \frac{\sin(x/2)}{1/2} \right]_{0}^{\pi/2}$
$= 2\sqrt{2} \left[ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin(0) \right]$
$= 2\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - 0 \right) = 2$

অতএব, নির্ণেয় মান $+2$।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন