উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যেহেতু বাস্তব সহগবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের জটিল মূলগুলো অনুবন্ধী যুগল হিসেবে থাকে, সেহেতু একটি মূল $(2 - 3i)$ হলে অপর মূলটি হবে $(2 + 3i)$।

   মূলদ্বয়ের যোগফল $= (2 - 3i) + (2 + 3i) = 4$
   মূলদ্বয়ের গুণফল $= (2 - 3i)(2 + 3i) = 2^2 - (3i)^2 = 4 - 9(-1) = 4 + 9 = 13$

   অতএব, নির্ণেয় সমীকরণটি হলো:
   $x^2 - (\text{মূলদ্বয়ের যোগফল})x + (\text{মূলদ্বয়ের গুণফল}) = 0$
   $\implies x^2 - 4x + 13 = 0$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: $|z + 3| = 4$
   যেহেতু $z = x + iy$, তাই
   $|x + iy + 3| = 4$
   $\implies |(x + 3) + iy| = 4$
   $\implies \sqrt{(x + 3)^2 + y^2} = 4$
   উভয়পাশে বর্গ করে পাই,
   $(x + 3)^2 + y^2 = 4^2$
   $\implies (x - (-3))^2 + (y - 0)^2 = 4^2$

   এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ যার আদর্শ আকার $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$।
   অতএব, বৃত্তটির:
   কেন্দ্র $= (-3, 0)$
   ব্যাসার্ধ $= 4$ একক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $g(x) = 0 \implies x^2 + 2x + q = 0$

   ধরি, সমীকরণটির একটি মূল $\alpha$ এবং অপর মূলটি $\alpha^2$।

   মূলদ্বয়ের যোগফল:
   $\alpha + \alpha^2 = -2 \quad \dots (1)$

   মূলদ্বয়ের গুণফল:
   $\alpha \cdot \alpha^2 = q \implies \alpha^3 = q \quad \dots (2)$

   (1) নং সমীকরণকে ঘন করে পাই:
   $(\alpha + \alpha^2)^3 = (-2)^3$
   $\implies \alpha^3 + (\alpha^2)^3 + 3 \cdot \alpha \cdot \alpha^2 (\alpha + \alpha^2) = -8$
   $\implies \alpha^3 + (\alpha^3)^2 + 3\alpha^3 (\alpha + \alpha^2) = -8$

   মান বসিয়ে পাই (যেহেতু $\alpha^3 = q$ এবং $\alpha + \alpha^2 = -2$):
   $q + q^2 + 3q(-2) = -8$
   $\implies q^2 + q - 6q + 8 = 0$
   $\implies q^2 - 5q + 8 = 0$ (প্রমাণিত)।