উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উদ্দীপক-১: A=cot⁡−17,B=cot⁡−13,g(A)=cos⁡2A,h(B)=sin⁡4BA=\cot ^{-1} 7, B=\cot ^{-1} 3, g(A)=\cos 2 A, h(B)=\sin 4 B. উদ্দীপক-২: f(α)=cos⁡α,g(α)=sin⁡2α,h(α)=12\mathbf{f}(\alpha)=\cos \alpha, \mathbf{g}(\alpha)=\sin 2 \alpha, h(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{2}} .

  1. ক)

    cos⁡−1tan⁡cot⁡−12\cos ^{-1} \tan \cot ^{-1} \sqrt{2} এর মুখ্যমান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    উদ্দীপক-১ এ প্রমাণ কর যে, A=g−1{ h( B)}\mathrm{A}=\mathrm{g}^{-1}\{\mathrm{~h}(\mathrm{~B})\} .

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপক-২ এর আলোকে সমাধান কর:f(α)+g(α2)=h(α), যখন −2π≤α≤2π f(\alpha)+g\left(\frac{\alpha}{2}\right)=h(\alpha), \text { যখন }-2 \pi \leq \alpha \leq 2 \pi

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত রাশি:
    cos⁡−1[tan⁡(cot⁡−12)]\cos^{-1}\left[\tan\left(\cot^{-1}\sqrt{2}\right)\right]
    আমরা জানি, cot⁡−12=tan⁡−1(12)\cot^{-1}\sqrt{2} = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
    তাহলে,
    cos⁡−1[tan⁡(tan⁡−112)]=cos⁡−1(12)=π4\cos^{-1}\left[\tan\left(\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right] = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}

    অতএব, নির্ণেয় মুখ্যমান π4\frac{\pi}{4}।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    B=cot⁡−13  ⟹  tan⁡B=13B = \cot^{-1} 3 \implies \tan B = \frac{1}{3}
    h(B)=sin⁡4B=2sin⁡2Bcos⁡2Bh(B) = \sin 4B = 2\sin 2B \cos 2B

    আমরা জানি,
    sin⁡2B=2tan⁡B1+tan⁡2B=2(13)1+(13)2=23109=35\sin 2B = \frac{2\tan B}{1+\tan^2 B} = \frac{2\left(\frac{1}{3}\right)}{1+\left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{9}} = \frac{3}{5}
    cos⁡2B=1−tan⁡2B1+tan⁡2B=1−(13)21+(13)2=89109=45\cos 2B = \frac{1-\tan^2 B}{1+\tan^2 B} = \frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2}{1+\left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{8}{9}}{\frac{10}{9}} = \frac{4}{5}

    ∴h(B)=2(35)(45)=2425\therefore h(B) = 2\left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{4}{5}\right) = \frac{24}{25}

    আবার,
    A=cot⁡−17  ⟹  tan⁡A=17A = \cot^{-1} 7 \implies \tan A = \frac{1}{7}
    g(A)=cos⁡2A=1−tan⁡2A1+tan⁡2A=1−(17)21+(17)2=48495049=4850=2425g(A) = \cos 2A = \frac{1-\tan^2 A}{1+\tan^2 A} = \frac{1-\left(\frac{1}{7}\right)^2}{1+\left(\frac{1}{7}\right)^2} = \frac{\frac{48}{49}}{\frac{50}{49}} = \frac{48}{50} = \frac{24}{25}

    যেহেতু g(A)=h(B)g(A) = h(B),
    অতএব, A=g−1{h(B)}A = g^{-1}\{h(B)\} (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    f(α)=cos⁡αf(\alpha) = \cos\alpha
    g(α)=sin⁡2α  ⟹  g(α2)=sin⁡(2⋅α2)=sin⁡αg(\alpha) = \sin 2\alpha \implies g\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right) = \sin\alpha
    h(α)=12h(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}}

    প্রদত্ত সমীকরণ:
    f(α)+g(α2)=h(α)f(\alpha) + g\left(\frac{\alpha}{2}\right) = h(\alpha)
      ⟹  cos⁡α+sin⁡α=12\implies \cos\alpha + \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}
    উভয়পক্ষকে 12\frac{1}{\sqrt{2}} দ্বারা গুণ করে পাই,
    12cos⁡α+12sin⁡α=12\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\alpha + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\alpha = \frac{1}{2}
      ⟹  cos⁡αcos⁡π4+sin⁡αsin⁡π4=cos⁡π3\implies \cos\alpha \cos\frac{\pi}{4} + \sin\alpha \sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{3}
      ⟹  cos⁡(α−π4)=cos⁡π3\implies \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{3}
      ⟹  α−π4=2nπ±π3\implies \alpha - \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}
      ⟹  α=2nπ+π4±π3\implies \alpha = 2n\pi + \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{3}, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z}

    ধনাত্মক চিহ্নের জন্য:
    α=2nπ+π4+π3=2nπ+7π12\alpha = 2n\pi + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = 2n\pi + \frac{7\pi}{12}
    ঋণাত্মক চিহ্নের জন্য:
    α=2nπ+π4−π3=2nπ−π12\alpha = 2n\pi + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = 2n\pi - \frac{\pi}{12}

    শর্তানুসারে, −2π≤α≤2π-2\pi \le \alpha \le 2\pi:
    n=0n = 0 হলে: α=7π12,−π12\alpha = \frac{7\pi}{12}, -\frac{\pi}{12}
    n=1n = 1 হলে: α=2π+7π12>2π\alpha = 2\pi + \frac{7\pi}{12} > 2\pi (বর্জিত);
    α=2π−π12=23π12\alpha = 2\pi - \frac{\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}
    n=−1n = -1 হলে: α=−2π+7π12=−17π12\alpha = -2\pi + \frac{7\pi}{12} = -\frac{17\pi}{12};
    α=−2π−π12<−2π\alpha = -2\pi - \frac{\pi}{12} < -2\pi (বর্জিত)

    অতএব, নির্ণেয় সমাধান: α=−17π12,−π12,7π12,23π12\alpha = -\frac{17\pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}, \frac{23\pi}{12}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন