উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উদ্দীপক: f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x এবং g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x।
A=sin⁡−135,B=cos⁡−1513,C=cot⁡−12,D=tan⁡−12829A = \sin^{-1} \frac{3}{5}, B = \cos^{-1} \frac{5}{13}, C = \cot^{-1} 2, D = \tan^{-1} \frac{28}{29}

  1. ক)

    প্রমাণ কর যে, cosec2(tan⁡−112)−3sec⁡2(cot⁡−13)=1\text{cosec}^2 \left(\tan^{-1} \frac{1}{2}\right) - 3 \sec^2 (\cot^{-1} \sqrt{3}) = 1

    (2)
  2. খ)

    f(πg(x))=g(πf(x))f(\pi g(x)) = g(\pi f(x)) হলে দেখাও যে, x=±12sin⁡−134x = \pm \frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{4}

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, 2A+B=2(C+D)2A + B = 2(C + D)

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    বামপক্ষ = cosec2(tan⁡−112)−3sec⁡2(cot⁡−13)\text{cosec}^2 (\tan^{-1} \frac{1}{2}) - 3 \sec^2 (\cot^{-1} \sqrt{3})

    আমরা জানি, cosec2θ=1+cot⁡2θ\text{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta এবং sec⁡2θ=1+tan⁡2θ\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta।
    এছাড়াও, tan⁡−112=cot⁡−12\tan^{-1} \frac{1}{2} = \cot^{-1} 2 এবং cot⁡−13=tan⁡−113\cot^{-1} \sqrt{3} = \tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}।

    অতএব,
    cosec2(cot⁡−12)=1+cot⁡2(cot⁡−12)=1+22=1+4=5\text{cosec}^2 (\cot^{-1} 2) = 1 + \cot^2 (\cot^{-1} 2) = 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5
    এবং,
    sec⁡2(tan⁡−113)=1+tan⁡2(tan⁡−113)=1+(13)2=1+13=43\sec^2 (\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}) = 1 + \tan^2 (\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}) = 1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

    সুতরাং,
    বামপক্ষ =5−3×43=5−4=1=ডানপক্ষ= 5 - 3 \times \frac{4}{3} = 5 - 4 = 1 = \text{ডানপক্ষ} (প্রমাণিত)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x এবং g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x।
    প্রদত্ত সমীকরণ: f(πg(x))=g(πf(x))f(\pi g(x)) = g(\pi f(x))
    ⇒sin⁡(πcos⁡x)=cos⁡(πsin⁡x)\Rightarrow \sin(\pi \cos x) = \cos(\pi \sin x)
    ⇒sin⁡(πcos⁡x)=sin⁡(π2±πsin⁡x)\Rightarrow \sin(\pi \cos x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} \pm \pi \sin x\right)
    ⇒πcos⁡x=π2±πsin⁡x\Rightarrow \pi \cos x = \frac{\pi}{2} \pm \pi \sin x
    উভয়পক্ষকে π\pi দ্বারা ভাগ করে,
    cos⁡x∓sin⁡x=12\cos x \mp \sin x = \frac{1}{2}

    উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
    (cos⁡x∓sin⁡x)2=(12)2(\cos x \mp \sin x)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2
    ⇒cos⁡2x+sin⁡2x∓2sin⁡xcos⁡x=14\Rightarrow \cos^2 x + \sin^2 x \mp 2 \sin x \cos x = \frac{1}{4}
    ⇒1∓sin⁡2x=14\Rightarrow 1 \mp \sin 2x = \frac{1}{4}
    ⇒∓sin⁡2x=14−1=−34\Rightarrow \mp \sin 2x = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}
    ⇒sin⁡2x=±34\Rightarrow \sin 2x = \pm \frac{3}{4}
    ⇒2x=±sin⁡−1(34)\Rightarrow 2x = \pm \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)
    ⇒x=±12sin⁡−1(34)\Rightarrow x = \pm \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) (দেখানো হলো)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    A=sin⁡−135=tan⁡−1352−32=tan⁡−134A = \sin^{-1} \frac{3}{5} = \tan^{-1} \frac{3}{\sqrt{5^2 - 3^2}} = \tan^{-1} \frac{3}{4}
    B=cos⁡−1513=tan⁡−1132−525=tan⁡−1125B = \cos^{-1} \frac{5}{13} = \tan^{-1} \frac{\sqrt{13^2 - 5^2}}{5} = \tan^{-1} \frac{12}{5}
    C=cot⁡−12=tan⁡−112C = \cot^{-1} 2 = \tan^{-1} \frac{1}{2}
    D=tan⁡−12829D = \tan^{-1} \frac{28}{29}

    এখন, বামপক্ষ =2A+B= 2A + B
    2A=2tan⁡−134=tan⁡−1(2×341−(34)2)=tan⁡−1(321−916)=tan⁡−1(32716)=tan⁡−12472A = 2\tan^{-1} \frac{3}{4} = \tan^{-1} \left(\frac{2 \times \frac{3}{4}}{1 - (\frac{3}{4})^2}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}\right) = \tan^{-1} \frac{24}{7}

    অতএব,
    2A+B=tan⁡−1247+tan⁡−11252A + B = \tan^{-1} \frac{24}{7} + \tan^{-1} \frac{12}{5}
    =π+tan⁡−1(247+1251−247×125)= \pi + \tan^{-1} \left(\frac{\frac{24}{7} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{24}{7} \times \frac{12}{5}}\right) [যেহেতু 247×125>1\frac{24}{7} \times \frac{12}{5} > 1]
    =π+tan⁡−1(120+843535−28835)=π+tan⁡−1(204−253)=π−tan⁡−1(204253)= \pi + \tan^{-1} \left(\frac{\frac{120 + 84}{35}}{\frac{35 - 288}{35}}\right) = \pi + \tan^{-1} \left(\frac{204}{-253}\right) = \pi - \tan^{-1} \left(\frac{204}{253}\right)

    ডানপক্ষ =2(C+D)=2(tan⁡−112+tan⁡−12829)= 2(C + D) = 2\left(\tan^{-1} \frac{1}{2} + \tan^{-1} \frac{28}{29}\right)
    tan⁡−112+tan⁡−12829=tan⁡−1(12+28291−12×2829)=tan⁡−1(29+565858−2858)=tan⁡−1(8530)=tan⁡−1176\tan^{-1} \frac{1}{2} + \tan^{-1} \frac{28}{29} = \tan^{-1} \left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{28}{29}}{1 - \frac{1}{2} \times \frac{28}{29}}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{\frac{29 + 56}{58}}{\frac{58 - 28}{58}}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{85}{30}\right) = \tan^{-1} \frac{17}{6}

    অতএব,
    2(C+D)=2tan⁡−1176=π+tan⁡−1(2×1761−(176)2)2(C + D) = 2 \tan^{-1} \frac{17}{6} = \pi + \tan^{-1} \left(\frac{2 \times \frac{17}{6}}{1 - (\frac{17}{6})^2}\right) [যেহেতু 176>1\frac{17}{6} > 1]
    =π+tan⁡−1(1731−28936)=π+tan⁡−1(173−25336)=π+tan⁡−1(−17×12253)=π−tan⁡−1(204253)= \pi + \tan^{-1} \left(\frac{\frac{17}{3}}{1 - \frac{289}{36}}\right) = \pi + \tan^{-1} \left(\frac{\frac{17}{3}}{-\frac{253}{36}}\right) = \pi + \tan^{-1} \left(-\frac{17 \times 12}{253}\right) = \pi - \tan^{-1} \left(\frac{204}{253}\right)

    অতএব, বামপক্ষ = ডানপক্ষ অর্থাৎ 2A+B=2(C+D)2A + B = 2(C + D) (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন