উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ: $y^2 = 32x = 4 \cdot 8 \cdot x$
   এখানে, $a = 8$।
   ধরি, পরাবৃত্তস্থ বিন্দুটি $P(x_1, y_1)$।
   আমরা জানি, $y^2 = 4ax$ পরাবৃত্তস্থ যেকোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব = $x_1 + a$
   প্রশ্নমতে,
   $x_1 + 8 = 10$
   $\Rightarrow x_1 = 2$
   বিন্দুটি পরাবৃত্তের ওপর অবস্থিত হওয়ায়,
   $y_1^2 = 32(2) = 64$
   $\Rightarrow y_1 = \pm 8$

   অতএব, নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(2, 8)$ অথবা $(2, -8)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যেহেতু উৎকেন্দ্রিকতা $e = 1$, তাই কণিকটি একটি পরাবৃত্ত।
   দেওয়া আছে, উপকেন্দ্র $S(7, 3)$ এবং শীর্ষবিন্দু $A(-1, 3)$।
   লক্ষ করি, $S$ ও $A$ বিন্দুদ্বয়ের কোটি সমান (উভয়টির কোটি 3)।
   সুতরাং, অক্ষরেখাটি $x$-অক্ষের সমান্তরাল এবং এর সমীকরণ $y = 3$ বা $y - 3 = 0$।

   শীর্ষ $A$ হতে উপকেন্দ্র $S$-এর দূরত্ব, $a = 7 - (-1) = 8$।
   পরাবৃত্তের অক্ষ $x$-অক্ষের সমান্তরাল এবং উপকেন্দ্র শীর্ষবিন্দুর ডানে অবস্থিত (যেহেতু $7 > -1$), তাই পরাবৃত্তটি ধনাত্মক $x$-অক্ষের দিকে উন্মুক্ত।

   সুতরাং, পরাবৃত্তটির সমীকরণ হবে:
   $(y - k)^2 = 4a(x - h)$
   এখানে শীর্ষবিন্দু $(h, k) = (-1, 3)$ এবং $a = 8$।
   $\Rightarrow (y - 3)^2 = 4 \cdot 8 \cdot (x - (-1))$
   $\Rightarrow (y - 3)^2 = 32(x + 1)$
   $\Rightarrow y^2 - 6y + 9 = 32x + 32$
   $\Rightarrow y^2 - 32x - 6y - 23 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, কণিকটির উৎকেন্দ্রিকতা $e = \frac{\sqrt{3}}{2} < 1$, সুতরাং কণিকটি একটি উপবৃত্ত।
   উপকেন্দ্র ও শীর্ষের সংযোগকারী রেখাংশ $SA$-কে বৃহদাক্ষ ধরা হয়েছে।
   এখানে, $S(7, 3)$ এবং $A(-1, 3)$।
   বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য, $2a = \sqrt{(7 - (-1))^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{8^2 + 0} = 8$
   $\Rightarrow a = 4$

   যেহেতু বৃহদাক্ষ $x$-অক্ষের সমান্তরাল (কোটিদ্বয় সমান = 3):
   বৃহদাক্ষের মধ্যবিন্দুই উপবৃত্তটির কেন্দ্র $C$:
   $C = \left(\frac{7 + (-1)}{2}, \frac{3 + 3}{2}\right) = (3, 3)$

   আমরা জানি, $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$
   $\Rightarrow \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{b^2}{4^2}$
   $\Rightarrow \frac{3}{4} = 1 - \frac{b^2}{16}$
   $\Rightarrow \frac{b^2}{16} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
   $\Rightarrow b^2 = 4$

   যেহেতু কেন্দ্র $(h, k) = (3, 3)$ এবং বৃহদাক্ষ $x$-অক্ষের সমান্তরাল, তাই উপবৃত্তের সমীকরণ:
   $\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$
   $\Rightarrow \frac{(x - 3)^2}{16} + \frac{(y - 3)^2}{4} = 1$
   $\Rightarrow \frac{x^2 - 6x + 9}{16} + \frac{y^2 - 6y + 9}{4} = 1$
   $\Rightarrow (x^2 - 6x + 9) + 4(y^2 - 6y + 9) = 16$
   $\Rightarrow x^2 + 4y^2 - 6x - 24y + 9 + 36 - 16 = 0$
   $\Rightarrow x^2 + 4y^2 - 6x - 24y + 29 = 0$।