উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • যোগজীকরণ • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০১৭

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

x236+y225=1,x=3;f(x)=xex,g(x)=(x+1)3\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{25}=1, x=3 ; f(x)=x e^{x}, g(x)=(x+1)^{3}

  1. ক)

    cot⁡x=19\cot x=\frac{1}{9} হলে sec⁡2x\sec 2 x এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    ∫03f(x)ddx{g(x)}dx\int_0^3 \frac{\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\{\mathrm{g}(\mathrm{x})\}} \mathrm{dx} এর মান নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপকের উপবৃত্ত এবং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, cot⁡x=19\cot x = \frac{1}{9}
    ⇒tan⁡x=9\Rightarrow \tan x = 9।

    আমরা জানি,
    cos⁡2x=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−921+92=1−811+81=−8082=−4041\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - 9^2}{1 + 9^2} = \frac{1 - 81}{1 + 81} = \frac{-80}{82} = -\frac{40}{41}।

    অতএব,
    sec⁡2x=1cos⁡2x=−4140\sec 2x = \frac{1}{\cos 2x} = -\frac{41}{40}।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=xexf(x) = x e^x এবং g(x)=(x+1)3g(x) = (x + 1)^3।
    এখানে, ddx{g(x)}=3(x+1)2\frac{d}{dx}\{g(x)\} = 3(x + 1)^2।

    সুতরাং,
    ∫03f(x)ddx{g(x)}dx=∫03xex3(x+1)2dx\int_{0}^{3} \frac{f(x)}{\frac{d}{dx}\{g(x)\}} dx = \int_{0}^{3} \frac{x e^x}{3(x+1)^2} dx
    =13∫03(x+1−1)ex(x+1)2dx= \frac{1}{3} \int_{0}^{3} \frac{(x+1-1) e^x}{(x+1)^2} dx
    =13∫03ex[1x+1−1(x+1)2]dx= \frac{1}{3} \int_{0}^{3} e^x \left[ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2} \right] dx।

    আমরা জানি, ∫ex[u(x)+u′(x)]dx=exu(x)\int e^x [u(x) + u'(x)] dx = e^x u(x)।
    এখানে u(x)=1x+1u(x) = \frac{1}{x+1} হলে u′(x)=−1(x+1)2u'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}।

    অতএব,
    =13[exx+1]03= \frac{1}{3} \left[ \frac{e^x}{x+1} \right]_0^3
    =13[e33+1−e00+1]= \frac{1}{3} \left[ \frac{e^3}{3+1} - \frac{e^0}{0+1} \right]
    =13(e34−1)= \frac{1}{3} \left( \frac{e^3}{4} - 1 \right)
    =e3−412= \frac{e^3 - 4}{12}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উপবৃত্তের সমীকরণ: x236+y225=1⇒y=±5636−x2\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{25} = 1 \Rightarrow y = \pm \frac{5}{6}\sqrt{36 - x^2}।
    এবং সরলরেখাটি হলো x=3x = 3।

    উপবৃত্তটি x=6x = 6 ও x=−6x = -6 এ xx-অক্ষকে ছেদ করে।
    x=3x = 3 সরলরেখা এবং উপবৃত্তের আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশটি x=3x = 3 হতে x=6x = 6 সীমার মধ্যে অবস্থিত।

    প্রতিসাম্যতার কারণে, আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল:
    A=2∫36y dxA = 2 \int_{3}^{6} y \, dx
    =2∫365636−x2 dx= 2 \int_{3}^{6} \frac{5}{6}\sqrt{36 - x^2} \, dx
    =53∫3662−x2 dx= \frac{5}{3} \int_{3}^{6} \sqrt{6^2 - x^2} \, dx
    =53[x236−x2+362sin⁡−1(x6)]36= \frac{5}{3} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{36 - x^2} + \frac{36}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{6}\right) \right]_3^6
    =53[(0+18sin⁡−1(1))−(3236−9+18sin⁡−1(12))]= \frac{5}{3} \left[ \left(0 + 18\sin^{-1}(1)\right) - \left(\frac{3}{2}\sqrt{36 - 9} + 18\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \right]
    =53[18(π2)−3272−18(π6)]= \frac{5}{3} \left[ 18\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{3\sqrt{27}}{2} - 18\left(\frac{\pi}{6}\right) \right]
    =53[9π−932−3π]= \frac{5}{3} \left[ 9\pi - \frac{9\sqrt{3}}{2} - 3\pi \right]
    =53[6π−932]= \frac{5}{3} \left[ 6\pi - \frac{9\sqrt{3}}{2} \right]
    =10π−1532= 10\pi - \frac{15\sqrt{3}}{2} বর্গ একক।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন