উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: In part (ga), the textbook/board identity requires $\sin\beta + \cos\alpha$ in the denominator. To yield $\sin\beta$, the term should be $g(\pi/2 - \beta) = \cos(\pi/2 - \beta) = \sin\beta$ or $f(\beta) = \sin\beta$. The prompt writes $f(\pi/2 - \beta)$, which is a known printing error for $g(\pi/2 - \beta)$.

   $\sin^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{4}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{11}{2}\right)$

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: In part (ga), the textbook/board identity requires $\sin\beta + \cos\alpha$ in the denominator. To yield $\sin\beta$, the term should be $g(\pi/2 - \beta) = \cos(\pi/2 - \beta) = \sin\beta$ or $f(\beta) = \sin\beta$. The prompt writes $f(\pi/2 - \beta)$, which is a known printing error for $g(\pi/2 - \beta)$.

   প্রদত্ত সমীকরণ: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 1 + \cos x + \cos 2x$
   $\implies \sin 2x(2\cos x + 1) = \cos x(2\cos x + 1)$
   $\implies \cos x(2\cos x + 1)(2\sin x - 1) = 0$
   অতএব,
   (i) $\cos x = 0 \implies x = (2n + 1)\frac{\pi}{2}$
   (ii) $2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2} \implies x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$
   (iii) $2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = n\pi + (-1)^n\frac{\pi}{6}$
   যেখানে $n \in \mathbb{Z}$।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: In part (ga), the textbook/board identity requires $\sin\beta + \cos\alpha$ in the denominator. To yield $\sin\beta$, the term should be $g(\pi/2 - \beta) = \cos(\pi/2 - \beta) = \sin\beta$ or $f(\beta) = \sin\beta$. The prompt writes $f(\pi/2 - \beta)$, which is a known printing error for $g(\pi/2 - \beta)$.

   ধরি, $\theta = \frac{f(\alpha/2)}{f(\pi/2 - \alpha/2)}\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right) = \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)$।
   $u = \tan(\alpha/2)$ এবং $v = \tan(\beta/2)$ ধরে,
   $\theta = u \cdot \frac{1-v}{1+v}$
   $2\tan^{-1}\theta = \tan^{-1}\left(\frac{2\theta}{1-\theta^2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\sin\alpha \cos\beta}{\cos\alpha + \sin\beta}\right)$
   যেহেতু $\sin\alpha = f(\alpha)$, $\cos\beta = g(\beta)$, $\cos\alpha = f(\pi/2 - \alpha)$ এবং $\sin\beta = g(\pi/2 - \beta)$, তাই:
   $2\tan^{-1}\left(\frac{f(\alpha/2)}{f(\pi/2 - \alpha/2)}\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)\right) = \tan^{-1}\left(\frac{f(\alpha) \cdot g(\beta)}{g(\pi/2-\beta) + f(\pi/2-\alpha)}\right)$ [প্রমাণিত]