উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $\theta = \sec^{-1}\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)$
   $\implies \sec\theta = \frac{\sqrt{13}}{2}$
   $\implies \tan\theta = \sqrt{\sec^2\theta - 1} = \sqrt{\frac{13}{4} - 1} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$
   অতএব, $\sec^{-1}\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)$

   প্রদত্ত রাশি:
   $\tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) + \sec^{-1}\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)$
   $= \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)$
   $= \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) + \cot^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$
   $= \frac{\pi}{2}$ (যেহেতু $\tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \frac{\pi}{2}$)

   উত্তর: $\frac{\pi}{2}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = \sin x$
   $\therefore f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $2\left\{f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right\}^{2}+7 f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-4=0$
   $\implies 2\cos^2 x + 7\cos x - 4 = 0$
   $\implies 2\cos^2 x + 8\cos x - \cos x - 4 = 0$
   $\implies 2\cos x(\cos x + 4) - 1(\cos x + 4) = 0$
   $\implies (2\cos x - 1)(\cos x + 4) = 0$

   যেহেতু যেকোনো বাস্তব $x$-এর জন্য $-1 \leq \cos x \leq 1$, তাই $\cos x + 4 \neq 0$।
   অতএব, $2\cos x - 1 = 0$
   $\implies \cos x = \frac{1}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$

   প্রদত্ত ব্যবধি: $-\pi \leq x \leq \pi$
   চতুর্থ ও প্রথম চতুর্ভাগে কোসাইনের মান ধনাত্মক।
   সুতরাং, $x = \pm \frac{\pi}{3}$

   উত্তর: $x = \pm \frac{\pi}{3}$ বা $x = -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $g(x) = \tan x$
   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $\{g(x)\}^{2}+3 g(x)-4 = 0$
   $\implies \tan^2 x + 3\tan x - 4 = 0$
   $\implies \tan^2 x + 4\tan x - \tan x - 4 = 0$
   $\implies \tan x(\tan x + 4) - 1(\tan x + 4) = 0$
   $\implies (\tan x - 1)(\tan x + 4) = 0$

   হয় $\tan x - 1 = 0 \implies \tan x = 1 = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)$
   $\implies x = n\pi + \frac{\pi}{4}$, যেখানে $n \in \mathbb{Z}$

   অথবা, $\tan x + 4 = 0 \implies \tan x = -4 = \tan(\tan^{-1}(-4)) = \tan(-\tan^{-1}4)$
   $\implies x = m\pi - \tan^{-1}(4)$, যেখানে $m \in \mathbb{Z}$

   উত্তর: $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ অথবা $x = m\pi - \tan^{-1}(4)$, যেখানে $n, m \in \mathbb{Z}$