উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $z = -4 - 4i$
   এখানে, বাস্তব অংশ $x = -4 < 0$ এবং কাল্পনিক অংশ $y = -4 < 0$।
   অতএব, সংখ্যাটি জটিল সমতলের তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
   সুতরাং, মুখ্য আর্গুমেন্ট, $\theta = -\pi + \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|$
   $= -\pi + \tan^{-1}\left|\frac{-4}{-4}\right|$
   $= -\pi + \tan^{-1}(1)$
   $= -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$
   (সাধারণ আর্গুমেন্ট হিসেবে ধরলে $\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ হতে,
   $g(x) = \frac{1}{1 - 9x + 20x^2} = \frac{1}{20x^2 - 9x + 1}$
   $= \frac{1}{(1 - 4x)(1 - 5x)}$

   আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করে পাই:
   $\frac{1}{(1 - 4x)(1 - 5x)} = \frac{A}{1 - 4x} + \frac{B}{1 - 5x}$
   $1 = A(1 - 5x) + B(1 - 4x)$
   $x = \frac{1}{4}$ বসিয়ে: $1 = A\left(1 - \frac{5}{4}\right) \implies A = -4$
   $x = \frac{1}{5}$ বসিয়ে: $1 = B\left(1 - \frac{4}{5}\right) \implies B = 5$

   অতএব,
   $g(x) = \frac{5}{1 - 5x} - \frac{4}{1 - 4x}$
   $= 5(1 - 5x)^{-1} - 4(1 - 4x)^{-1}$
   $= 5\left[1 + 5x + (5x)^2 + \dots + (5x)^n + \dots\right] - 4\left[1 + 4x + (4x)^2 + \dots + (4x)^n + \dots\right]$

   সুতরাং, $g(x)$ এর বিস্তৃতিতে $x^n$ এর সহগ:
   $= 5 \cdot 5^n - 4 \cdot 4^n = 5^{n+1} - 4^{n+1}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ হতে দ্বিঘাত সমীকরণ: $mx^2 + nx + s = 0$
   প্রদত্ত মান: $m = 9, n = 2, s = \frac{1}{3}(p+2)$
   তাহলে সমীকরণটি হয়: $9x^2 + 2x + \frac{1}{3}(p+2) = 0$

   প্রশ্নমতে, সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গ। ধরি, মূলদ্বয় $\alpha$ এবং $\alpha^2$।
   মূলদ্বয়ের যোগফল:
   $\alpha + \alpha^2 = -\frac{2}{9} \implies 9\alpha^2 + 9\alpha + 2 = 0$
   বা, $9\alpha^2 + 6\alpha + 3\alpha + 2 = 0$
   বা, $3\alpha(3\alpha + 2) + 1(3\alpha + 2) = 0$
   বা, $(3\alpha + 1)(3\alpha + 2) = 0$
   $\therefore \alpha = -\frac{1}{3}$ অথবা $\alpha = -\frac{2}{3}$

   আবার, মূলদ্বয়ের গুণফল:
   $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = \frac{\frac{1}{3}(p+2)}{9} = \frac{p+2}{27}$
   বা, $p + 2 = 27\alpha^3$
   বা, $p = 27\alpha^3 - 2$

   যদি $\alpha = -\frac{1}{3}$ হয়:
   $p = 27\left(-\frac{1}{3}\right)^3 - 2 = 27\left(-\frac{1}{27}\right) - 2 = -1 - 2 = -3$

   যদি $\alpha = -\frac{2}{3}$ হয়:
   $p = 27\left(-\frac{2}{3}\right)^3 - 2 = 27\left(-\frac{8}{27}\right) - 2 = -8 - 2 = -10$

   অতএব, $p$ এর মান $-3$ অথবা $-10$।