পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সর্বনিম্ন যে বেগে কোনো বস্তুকে উপরের দিকে নিক্ষেপ করলে তা আর ভূপৃষ্ঠে ফিরে আসে না (অর্থাৎ পৃথিবীর মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র অতিক্রম করে চলে যায়), তাকে মুক্তি বেগ বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বৃত্তাকার পথে ঘূর্ণনশীল বস্তুর কেন্দ্রমুখী বল $F_c = \frac{mv^2}{r} = m\omega^2 r$।

   এখানে,
   ১. যদি রৈখিক বেগ $v$ ধ্রুব থাকে, তবে কেন্দ্রমুখী বল ব্যাসার্ধের ব্যস্তানুপাতিক ($F_c \propto \frac{1}{r}$)। অর্থাৎ, ব্যাসার্ধ বৃদ্ধি পেলে কেন্দ্রমুখী বল হ্রাস পায় এবং ব্যাসার্ধ হ্রাস পেলে কেন্দ্রমুখী বল বৃদ্ধি পায়।
   ২. যদি কৌণিক বেগ $\omega$ ধ্রুব থাকে, তবে কেন্দ্রমুখী বল ব্যাসার্ধের সমানুপাতিক ($F_c \propto r$)। অর্থাৎ, ব্যাসার্ধ বৃদ্ধি পেলে কেন্দ্রমুখী বল বৃদ্ধি পায়।

   সুতরাং, বৃত্তাকার পথের ব্যাসার্ধ পরিবর্তিত হলে কেন্দ্রমুখী বলও পরিবর্তিত হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   ভর, $m = 2\text{ kg}$
   অবস্থান ভেক্টর, $\vec{r} = \hat{i} - 2\hat{j} + b\hat{k}$
   যেহেতু $b = 2$, সুতরাং $\vec{r} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}\text{ m}$
   বেগ, $\vec{v} = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}\text{ m s}^{-1}$

   রৈখিক ভরবেগ,
   $\vec{P} = m\vec{v} = 2(2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}) = 4\hat{i} - 8\hat{j} + 4\hat{k}\text{ kg m s}^{-1}$

   কৌণিক ভরবেগ $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{P}$:
   $\vec{L} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 4 & -8 & 4 \end{vmatrix}$
   $= \hat{i}[(-2)(4) - (2)(-8)] - \hat{j}[(1)(4) - (2)(4)] + \hat{k}[(1)(-8) - (-2)(4)]$
   $= \hat{i}[-8 + 16] - \hat{j}[4 - 8] + \hat{k}[-8 + 8]$
   $= 8\hat{i} + 4\hat{j} + 0\hat{k} = 8\hat{i} + 4\hat{j}\text{ kg m}^2\text{s}^{-1}$

   অতএব, কৌণিক ভরবেগের মান:
   $|\vec{L}| = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} \approx 8.944\text{ kg m}^2\text{s}^{-1}$ (বা $\text{J s}$)।

   উত্তর: কৌণিক ভরবেগের মান $8.944\text{ kg m}^2\text{s}^{-1}$ বা $4\sqrt{5}\text{ kg m}^2\text{s}^{-1}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\vec{r} = \hat{i} - 2\hat{j} + b\hat{k}$
   $\vec{v} = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$

   ক্ষেত্র ১: $\vec{r}$ ও $\vec{v}$ পরস্পর সমান্তরাল হলে:
   দুটি ভেক্টর পরস্পর সমান্তরাল হলে তাদের অনুরূপ সহগগুলোর অনুপাত সমান হয়:
   $\frac{r_x}{v_x} = \frac{r_y}{v_y} = \frac{r_z}{v_z}$
   $\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{-2}{-4} = \frac{b}{2}$
   $\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{b}{2}$
   $\Rightarrow b = 1$

   ক্ষেত্র ২: $\vec{r}$ ও $\vec{v}$ পরস্পর লম্ব হলে:
   দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণন শূন্য হয় ($\vec{r} \cdot \vec{v} = 0$):
   $\Rightarrow (1)(2) + (-2)(-4) + (b)(2) = 0$
   $\Rightarrow 2 + 8 + 2b = 0$
   $\Rightarrow 10 + 2b = 0$
   $\Rightarrow 2b = -10$
   $\Rightarrow b = -5$

   মানের পরিবর্তন:
   ভেক্টরদ্বয় সমান্তরাল হলে $b$-এর মান হয় $1$ এবং পরস্পর লম্ব হলে $b$-এর মান হয় $-5$।
   অতএব, সমান্তরাল থেকে লম্ব অবস্থায় পরিবর্তিত হলে $b$-এর মানের পরিবর্তন হবে:
   $\Delta b = -5 - 1 = -6$ (অর্থাৎ মান $6$ হ্রাস পাবে)।