উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত হলো তাদের স্কেলার গুণন (ডট গুণন) শূন্য হবে।
   $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 0$
   $\implies (2\hat{i} - 3\hat{j} + r\hat{k}) \cdot (-\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) = 0$
   $\implies (2)(-1) + (-3)(2) + (r)(-3) = 0$
   $\implies -2 - 6 - 3r = 0$
   $\implies -8 - 3r = 0$
   $\implies r = -\frac{8}{3}$

   অতএব, $r = -\frac{8}{3}$ হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের সমীকরণ:
   $3x + 2y - 6 = 0$ ...(i)
   $2x + 3y - 8 = 0$ ...(ii)

   (i) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে বিয়োগ করি:
   $9x + 6y - 18 = 0$
   $4x + 6y - 16 = 0$

   $5x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{5}$

   $x$-এর মান (i) নং-এ বসিয়ে পাই:
   $3\left(\frac{2}{5}\right) + 2y - 6 = 0$
   $\implies 2y = 6 - \frac{6}{5} = \frac{24}{5}$
   $\implies y = \frac{12}{5}$

   অতএব, ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(\frac{2}{5}, \frac{12}{5}\right)$।

   উভয় অক্ষের ধনাত্মক দিক থেকে সমমানের অংশ ছেদকারী রেখার সমীকরণ:
   $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ [যেখানে $a > 0$]
   $\implies x + y = a$

   রেখাটি $\left(\frac{2}{5}, \frac{12}{5}\right)$ বিন্দুগামী হওয়ায়:
   $\frac{2}{5} + \frac{12}{5} = a$
   $\implies a = \frac{14}{5}$

   অতএব, নির্ণেয় রেখার সমীকরণ:
   $x + y = \frac{14}{5}$
   $\implies 5x + 5y - 14 = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের সমীকরণ:
   $3x + 2y - 6 = 0$
   $2x + 3y - 8 = 0$

   এখানে, ধ্রুবপদ দুটি একই চিহ্নযুক্ত (উভয়ই ঋণাত্মক)।
   এখন, $a_1a_2 + b_1b_2 = (3)(2) + (2)(3) = 6 + 6 = 12 > 0$
   যেহেতু $a_1a_2 + b_1b_2 > 0$, সুতরাং ধনাত্মক (+) চিহ্ন নিয়ে গঠিত সমদ্বিখণ্ডকটি স্থূলকোণের সমদ্বিখণ্ডক নির্দেশ করবে।

   রেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণসমূহের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ:
   $\frac{3x + 2y - 6}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \pm \frac{2x + 3y - 8}{\sqrt{2^2 + 3^2}}$
   $\implies \frac{3x + 2y - 6}{\sqrt{13}} = \pm \frac{2x + 3y - 8}{\sqrt{13}}$
   $\implies 3x + 2y - 6 = \pm (2x + 3y - 8)$

   স্থূলকোণের সমদ্বিখণ্ডকের জন্য ধনাত্মক (+) চিহ্ন নিয়ে পাই:
   $3x + 2y - 6 = 2x + 3y - 8$
   $\implies 3x - 2x + 2y - 3y - 6 + 8 = 0$
   $\implies x - y + 2 = 0$
   $\implies y = x + 2$

   উক্ত রেখার ঢাল, $m = 1$
   যদি রেখাটি $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে, তবে:
   $\tan \theta = m$
   $\implies \tan \theta = 1$
   $\implies \tan \theta = \tan 45^\circ$
   $\implies \theta = 45^\circ$

   অতএব, নির্ণেয় কোণ $45^\circ$ বা $\frac{\pi}{4}$ রেডিয়ান।