উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\lim_{x \to 2} \frac{4 - x^2}{3 - \sqrt{x^2 + 5}}$
   লব ও হরকে $(3 + \sqrt{x^2 + 5})$ দ্বারা গুণ করে পাই:
   $= \lim_{x \to 2} \frac{(4 - x^2)(3 + \sqrt{x^2 + 5})}{3^2 - (\sqrt{x^2 + 5})^2}$
   $= \lim_{x \to 2} \frac{(4 - x^2)(3 + \sqrt{x^2 + 5})}{9 - (x^2 + 5)}$
   $= \lim_{x \to 2} \frac{(4 - x^2)(3 + \sqrt{x^2 + 5})}{4 - x^2}$
   $= \lim_{x \to 2} (3 + \sqrt{x^2 + 5})$
   $= 3 + \sqrt{2^2 + 5} = 3 + \sqrt{9} = 3 + 3 = 6$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = \frac{1}{\sin x}$ এবং $g(x) = \frac{1}{\tan x}$।
   সুতরাং, $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{1/\sin x}{1/\tan x} = \frac{\tan x}{\sin x} = \frac{\sin x / \cos x}{\sin x} = \frac{1}{\cos x} = \sec x$।

   ধরি, $F(x) = \sec x$
   তাহলে, $F(x + h) = \sec(x + h)$

   মূল নিয়মের সংজ্ঞানুযায়ী,
   $\frac{d}{dx}[F(x)] = \lim_{h \to 0} \frac{F(x + h) - F(x)}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\sec(x + h) - \sec x}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos(x + h)} - \frac{1}{\cos x}}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x - \cos(x + h)}{h \cos(x + h) \cos x}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{2\sin(x + h/2)\sin(h/2)}{h \cos(x + h) \cos x}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h/2)}{h/2} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x + h/2)}{\cos(x + h)\cos x}$
   $= 1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x \cdot \cos x}$
   $= \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$
   $= \sec x \tan x$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, y = h(x) + 1/h(x) = x + 1/x

   x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:
   dy/dx = 1 - 1/x²
   d²y/dx² = 2/x³

   চরম মানের (গুরুমান বা লঘুমান) জন্য dy/dx = 0:
   1 - 1/x² = 0
   => x² = 1
   => x = ±1

   যখন x = 1:
   d²y/dx² = 2/(1)³ = 2 > 0
   অতএব, x = 1 বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান বিদ্যমান।
   লঘুমান = 1 + 1/1 = 2।

   যখন x = -1:
   d²y/dx² = 2/(-1)³ = -2 < 0
   অতএব, x = -1 বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান।
   গুরুমান = -1 + 1/(-1) = -2।

   যেহেতু -2 < 2, তাই ফাংশনটির গুরুমান তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। (দেখানো হলো)