উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $I = \int \sin 9x \sin 11x \, dx = \frac{1}{2} \int 2\sin 11x \sin 9x \, dx$
   আমরা জানি, $2\sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$
   $= \frac{1}{2} \int [\cos(11x - 9x) - \cos(11x + 9x)] \, dx$
   $= \frac{1}{2} \int (\cos 2x - \cos 20x) \, dx$
   $= \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x}{2} - \frac{\sin 20x}{20} \right] + C$
   $= \frac{\sin 2x}{4} - \frac{\sin 20x}{40} + C$
   (যেখানে $C$ একটি সমাকলন ধ্রুবক)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = \frac{1}{(4 + x^2)^{3/2}}$
   নির্ণেয় যোগজ, $I = \int_{0}^{4} \frac{dx}{(4 + x^2)^{3/2}}$
   ধরি, $x = 2\tan \theta \implies dx = 2\sec^2 \theta \, d\theta$
   সীমা পরিবর্তন:
   যখন $x = 0$, তখন $\tan \theta = 0 \implies \theta = 0$
   যখন $x = 4$, তখন $\tan \theta = 2 \implies \theta = \tan^{-1}(2)$

   এখন,
   $4 + x^2 = 4 + 4\tan^2 \theta = 4(1 + \tan^2 \theta) = 4\sec^2 \theta$
   সুতরাং, $(4 + x^2)^{3/2} = (4\sec^2 \theta)^{3/2} = 8\sec^3 \theta$

   অতএব,
   $I = \int_{0}^{\tan^{-1}(2)} \frac{2\sec^2 \theta}{8\sec^3 \theta} \, d\theta = \frac{1}{4} \int_{0}^{\tan^{-1}(2)} \frac{1}{\sec \theta} \, d\theta = \frac{1}{4} \int_{0}^{\tan^{-1}(2)} \cos \theta \, d\theta$
   $= \frac{1}{4} [\sin \theta]_{0}^{\tan^{-1}(2)}$
   যেহেতু $\tan \theta = 2$, সেহেতু একটি সমকোণী ত্রিভুজ হতে পাই, লম্ব $= 2$, ভূমি $= 1$, অতিভুজ $= \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
   অতএব, $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$

   সুতরাং,
   $I = \frac{1}{4} \left( \frac{2}{\sqrt{5}} - 0 \right) = \frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{10}$
   নির্ণেয় মান: $\frac{1}{2\sqrt{5}}$ বা $\frac{\sqrt{5}}{10}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এর বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 = 64 = 8^2$
   সরলরেখার সমীকরণ: $y = 5$
   ছেদবিন্দুদ্বয়ের জন্য, $x^2 + 5^2 = 64 \implies x^2 = 64 - 25 = 39 \implies x = \pm \sqrt{39}$

   বৃত্ত ও $y = 5$ সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল হলো:
   $A = \int_{-\sqrt{39}}^{\sqrt{39}} (y_{\text{বৃত্ত}} - y_{\text{রেখা}}) \, dx = 2 \int_{0}^{\sqrt{39}} (\sqrt{64 - x^2} - 5) \, dx$
   $= 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{64 - x^2} + \frac{64}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{8}\right) - 5x \right]_{0}^{\sqrt{39}}$
   $= 2 \left[ \frac{\sqrt{39}}{2}\sqrt{64 - 39} + 32\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{39}}{8}\right) - 5\sqrt{39} \right]$
   $= 2 \left[ \frac{5\sqrt{39}}{2} + 32\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{39}}{8}\right) - 5\sqrt{39} \right]$
   $= 2 \left[ 32\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{39}}{8}\right) - \frac{5\sqrt{39}}{2} \right]$
   $= 64\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{39}}{8}\right) - 5\sqrt{39} \text{ বর্গ একক}$
   (মান প্রায় $64 \times 0.8932 - 31.225 = 57.165 - 31.225 \approx 25.94$ বর্গ একক)।