উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\lim_{x \to \infty} \frac{x^4 + 3x^2 - 1}{3x^4 + x^3 - 2x}$
   লব ও হরকে $x^4$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $= \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x^2} - \frac{1}{x^4}}{3 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^3}}$
   যেহেতু $x \to \infty$, তাই $\frac{1}{x} \to 0, \frac{1}{x^2} \to 0, \frac{1}{x^3} \to 0, \frac{1}{x^4} \to 0$।
   $= \frac{1 + 0 - 0}{3 + 0 - 0} = \frac{1}{3}$
   নির্ণেয় মান: $\frac{1}{3}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ হতে, $f(x) = x$ এবং $g(x) = \sin x$।
   ধরি, $y = \{f(x)\}^{g(x)} + \{g(x)\}^{f(x)} = x^{\sin x} + (\sin x)^x = u + v$
   যেখানে $u = x^{\sin x}$ এবং $v = (\sin x)^x$।
   অতএব, $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$

   প্রথম অংশ:
   $u = x^{\sin x}$
   উভয়পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম নিয়ে পাই,
   $\ln u = \sin x \ln x$
   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{1}{u}\frac{du}{dx} = \cos x \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$
   $\Rightarrow \frac{du}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$

   দ্বিতীয় অংশ:
   $v = (\sin x)^x$
   উভয়পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম নিয়ে পাই,
   $\ln v = x \ln (\sin x)$
   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{1}{v}\frac{dv}{dx} = 1 \cdot \ln(\sin x) + x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \ln(\sin x) + x \cot x$
   $\Rightarrow \frac{dv}{dx} = (\sin x)^x \{\ln(\sin x) + x \cot x\}$

   অতএব,
   $\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right) + (\sin x)^x \{x \cot x + \ln(\sin x)\}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,
   $n \sin^{-1} x = \sin^{-1} y$
   $\Rightarrow y = \sin(n \sin^{-1} x)$

   $x$-এর সাপেক্ষে প্রথমবার অন্তরীকরণ করে পাই,
   $y_1 = \cos(n \sin^{-1} x) \cdot \frac{d}{dx}(n \sin^{-1} x)$
   $\Rightarrow y_1 = \cos(n \sin^{-1} x) \cdot \frac{n}{\sqrt{1-x^2}}$
   $\Rightarrow y_1 \sqrt{1-x^2} = n \cos(n \sin^{-1} x)$

   উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,
   $y_1^2 (1 - x^2) = n^2 \cos^2(n \sin^{-1} x)$
   $\Rightarrow y_1^2 (1 - x^2) = n^2 \{1 - \sin^2(n \sin^{-1} x)\}$
   $\Rightarrow y_1^2 (1 - x^2) = n^2 (1 - y^2)$

   এবার উভয়পক্ষকে পুনরায় $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $2y_1 y_2 (1 - x^2) + y_1^2 (-2x) = n^2 (-2y y_1)$
   $\Rightarrow 2y_1 [(1 - x^2)y_2 - x y_1] = -2 n^2 y y_1$

   উভয়পক্ষকে $2y_1$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $(1 - x^2)y_2 - x y_1 = -n^2 y$
   $\Rightarrow (1 - x^2)y_2 - x y_1 + n^2 y = 0$ (প্রমাণিত)।