উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $e^{xy} - 2xy = 5$
   উভয়পক্ষে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{d}{dx}(e^{xy}) - 2\frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(5)$
   $\implies e^{xy}\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) - 2\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) = 0$
   $\implies (e^{xy} - 2)\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) = 0$
   যদি $e^{xy} - 2 \neq 0$ হয়, তবে:
   $y + x\frac{dy}{dx} = 0$
   $\implies x\frac{dy}{dx} = -y$
   $\implies \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$

   অতএব, নির্ণেয় মান: $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, বক্ররেখার সমীকরণ:
   $f(x, y) = x^3 + xy^2 - 3x^2 + 4x + 3y = 0$
   $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $3x^2 + y^2 + 2xy\frac{dy}{dx} - 6x + 4 + 3\frac{dy}{dx} = 0$
   $\implies (2xy + 3)\frac{dy}{dx} = -(3x^2 + y^2 - 6x + 4)$
   $\implies \frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + y^2 - 6x + 4}{2xy + 3}$

   $(1, -1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল,
   $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1,-1)} = -\frac{3(1)^2 + (-1)^2 - 6(1) + 4}{2(1)(-1) + 3} = -\frac{3 + 1 - 6 + 4}{-2 + 3} = -\frac{2}{1} = -2$

   অতএব, $(1, -1)$ বিন্দুতে অভিলম্বের ঢাল $m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$

   অতএব, $(1, -1)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ:
   $y - (-1) = \frac{1}{2}(x - 1)$
   $\implies y + 1 = \frac{1}{2}(x - 1)$
   $\implies 2y + 2 = x - 1$
   $\implies x - 2y - 3 = 0$

   নির্ণেয় অভিলম্বের সমীকরণ: $x - 2y - 3 = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $g(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 - x^2$

   অন্তরীকরণ করে পাই,
   $g'(x) = 2x^3 - 3x^2 - 2x = x(2x^2 - 3x - 2) = x(2x + 1)(x - 2)$

   চরম মানের জন্য $g'(x) = 0$:
   $x(2x + 1)(x - 2) = 0$
   $\implies x = 0, -\frac{1}{2}, 2$

   কিন্তু প্রদত্ত ব্যবধি হলো $[0, 2]$।
   ব্যবধি $[0, 2]$ এর অন্তর্ভুক্ত ক্রান্তি বিন্দুসমূহ হলো $x = 0$ এবং $x = 2$।

   প্রান্তবিন্দু এবং চরম বিন্দুতে $g(x)$ এর মান:
   $x = 0$ হলে, $g(0) = 0$
   $x = 2$ হলে, $g(2) = \frac{1}{2}(2)^4 - (2)^3 - (2)^2 = \frac{1}{2}(16) - 8 - 4 = 8 - 8 - 4 = -4$

   সুতরাং, $[0, 2]$ ব্যবধিতে $g(x)$ এর সর্বোচ্চ (গুরুমান) মান $0$ (যখন $x = 0$) এবং সর্বনিম্ন (লঘুমান) মান $-4$ (যখন $x = 2$)।