গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle ABC$-এর $BC$ বাহুকে $D$ পর্যন্ত বাড়ানো হলো। বহিঃস্থ কোণ $\angle ACD$। প্রমাণ করতে হবে, $\angle ACD=\angle BAC+\angle ABC$।

   অঙ্কন: $C$ বিন্দুতে $BA$-এর সমান্তরাল করে $CE$ রেখাংশ আঁকি।

   প্রমাণ: $BA\parallel CE$ এবং $AC$ ছেদক, তাই $\angle ACE=\angle BAC$ (একান্তর কোণ)।

   আবার $BA\parallel CE$ এবং $BD$ ছেদক, তাই $\angle ECD=\angle ABC$ (অনুরূপ কোণ)।

   যোগ করে, $\angle ACE+\angle ECD=\angle BAC+\angle ABC$

   $\therefore\angle ACD=\angle BAC+\angle ABC$। (প্রমাণিত)

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle ABC$-এর $AB$ ও $AC$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $D$ ও $E$। প্রমাণ করতে হবে, $DE\parallel BC$ এবং $DE=\dfrac12BC$।

   অঙ্কন: $DE$ কে $F$ পর্যন্ত বাড়াই যেন $EF=DE$ হয়। $C,F$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $\triangle ADE$ ও $\triangle CEF$-এ $AE=CE$ ($E$ মধ্যবিন্দু), $DE=EF$ (অঙ্কন) এবং $\angle AED=\angle CEF$ (বিপ্রতীপ কোণ)।

   $\therefore\triangle ADE\cong\triangle CEF$, অতএব $AD=CF$ এবং $\angle ADE=\angle CFE$।

   $\angle ADE=\angle CFE$ একান্তর কোণ, তাই $AB\parallel CF$। $AD=DB$ বলে $DB=CF$।

   সুতরাং $DBCF$ চতুর্ভুজের $DB$ ও $CF$ সমান ও সমান্তরাল, অতএব এটি সামান্তরিক। তাই $DF\parallel BC$ এবং $DF=BC$।

   $\therefore DE\parallel BC$ এবং $DE=\dfrac12DF=\dfrac12BC$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle ABC$-এ $\angle B$ ও $\angle C$-এর সমদ্বিখণ্ডক $O$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে, $\angle BOC=90^\circ+\dfrac12\angle A$।

   প্রমাণ: $OB$ ও $OC$ যথাক্রমে $\angle B$ ও $\angle C$-এর সমদ্বিখণ্ডক, তাই $\angle OBC=\dfrac12\angle B$ এবং $\angle OCB=\dfrac12\angle C$।

   $\triangle OBC$-এ $\angle BOC=180^\circ-(\angle OBC+\angle OCB)=180^\circ-\dfrac12(\angle B+\angle C)$

   $\angle B+\angle C=180^\circ-\angle A$ (ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$)।

   $\therefore\angle BOC=180^\circ-\dfrac12(180^\circ-\angle A)=90^\circ+\dfrac12\angle A$। (প্রমাণিত)