পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   খুব অল্প সময়ের জন্য কোনো বস্তুর ওপর খুব বড় মানের যে বল প্রযুক্ত হয়, তাকে ঘাত বল বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি ইঞ্জিনের দক্ষতা 60% বলতে বোঝায় যে, ইঞ্জিনটিতে মোট যে পরিমাণ শক্তি বা কাজ সরবরাহ বা প্রদান করা হয়, তার 60% অংশ কার্যকর শক্তিতে বা প্রয়োজনীয় কাজে রূপান্তরিত হয় এবং অবশিষ্ট 40% শক্তি বিভিন্ন অপচয়ের কারণে নষ্ট হয়ে যায়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   $\vec{A} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
   $\vec{B} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$

   চিত্র-১ থেকে দেখা যায়, $\theta_1$ হলো $\vec{A}$ এবং $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ।

   আমরা জানি,
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos\theta_1$

   এখানে,
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = (1)(2) + (-1)(-3) + (1)(6) = 2 + 3 + 6 = 11$
   $|\vec{A}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$
   $|\vec{B}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$

   অতএব,
   $\cos\theta_1 = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} = \frac{11}{7\sqrt{3}} \approx \frac{11}{12.124} \approx 0.9073$
   $\theta_1 = \cos^{-1}(0.9073) \approx 24.87^\circ$

   সুতরাং, $\theta_1$ এর মান প্রায় $24.87^\circ$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র-২ অনুযায়ী, $\theta_2$ হলো $(\vec{A} + \vec{B})$ এবং $(\vec{A} - \vec{B})$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ।

   দেওয়া আছে,
   $\vec{A} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
   $\vec{B} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$

   অতএব,
   $\vec{P} = \vec{A} + \vec{B} = (1+2)\hat{i} + (-1-3)\hat{j} + (1+6)\hat{k} = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$
   $\vec{Q} = \vec{A} - \vec{B} = (1-2)\hat{i} + (-1 - (-3))\hat{j} + (1-6)\hat{k} = -\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$

   ভেক্টরদ্বয়ের মান:
   $|\vec{P}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 16 + 49} = \sqrt{74} \approx 8.6023$
   $|\vec{Q}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30} \approx 5.4772$

   ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার গুণন:
   $\vec{P} \cdot \vec{Q} = (3)(-1) + (-4)(2) + (7)(-5) = -3 - 8 - 35 = -46$

   আমরা জানি,
   $\cos\theta_2 = \frac{\vec{P} \cdot \vec{Q}}{|\vec{P}||\vec{Q}|} = \frac{-46}{\sqrt{74} \cdot \sqrt{30}} = \frac{-46}{\sqrt{2220}} \approx \frac{-46}{47.1169} \approx -0.9763$

   বা, $\theta_2 = \cos^{-1}(-0.9763) \approx 167.46^\circ$

   'গ' হতে পাই,
   $\theta_1 \approx 24.87^\circ$

   যেহেতু $\theta_1 \neq \theta_2$ ($24.87^\circ \neq 167.46^\circ$),
   সুতরাং উদ্দীপকের ক্ষেত্রে $\theta_1 = \theta_2$ হওয়া সম্ভব নয়।