পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একই জাতীয় দুটি অসমমানের ভেক্টর যদি একই দিকে ক্রিয়া করে, তবে তাদেরকে সদৃশ ভেক্টর বলা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান শূন্য হতে হলে ভেক্টরদ্বয়কে মানে সমান এবং পরস্পরের বিপরীতমুখী হতে হয়।

   ধরি, দুটি ভেক্টর $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$। লব্ধি $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB\cos\alpha}$। লব্ধির মান সর্বনিম্ন হয় যখন $\alpha = 180^\circ$, অর্থাৎ $R_{min} = |A - B|$।
   যদি ভেক্টর দুটি অসমান হয় (অর্থাৎ $A \neq B$), তবে $|A - B| \neq 0$। অর্থাৎ লব্ধির সর্বনিম্ন মানও শূন্যের চেয়ে বেশি হবে। সুতরাং, দুটি অসমান ভেক্টরের লব্ধি কখনো শূন্য হতে পারে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের চিত্রানুযায়ী,
   P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 3, 2) এবং Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 1, 3)।
   অতএব, P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে:
   $\vec{P} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$
   $\vec{Q} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$

   $\Delta OPQ$ ত্রিভুজের সন্নিহিত দুই বাহু $\vec{P}$ ও $\vec{Q}$ নির্দেশ করে।
   সুতরাং, $\Delta OPQ$ এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} |\vec{P} \times \vec{Q}|$

   এখন,
   $\vec{P} \times \vec{Q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$
   $= \hat{i}(9 - 2) - \hat{j}(3 - 4) + \hat{k}(1 - 6)$
   $= 7\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$

   $\therefore |\vec{P} \times \vec{Q}| = \sqrt{7^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{49 + 1 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$

   অতএব, $\Delta OPQ$ এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times 5\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4.33$ বর্গ একক।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক থেকে পাই,
   $\vec{P} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$
   $\vec{Q} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$

   ধরি, $\vec{A} = \vec{P} + \vec{Q} = (1+2)\hat{i} + (3+1)\hat{j} + (2+3)\hat{k} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$
   এবং $\vec{B} = \vec{P} - \vec{Q} = (1-2)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$

   ভেক্টরদ্বয়ের মান:
   |$\vec{A}$| $= \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
   |$\vec{B}$| $= \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

   +Y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর $\hat{j}$।
   ধরি, $\vec{A}$ ভেক্টরটি +Y অক্ষের সাথে $\theta_1$ কোণ এবং $\vec{B}$ ভেক্টরটি +Y অক্ষের সাথে $\theta_2$ কোণ উৎপন্ন করে।

   $\cos\theta_1 = \frac{\vec{A} \cdot \hat{j}}{|\vec{A}|} = \frac{4}{5\sqrt{2}} \approx 0.5657$
   $\therefore \theta_1 = \cos^{-1}(0.5657) \approx 55.55^\circ$

   $\cos\theta_2 = \frac{\vec{B} \cdot \hat{j}}{|\vec{B}|} = \frac{2}{\sqrt{6}} \approx 0.8165$
   $\therefore \theta_2 = \cos^{-1}(0.8165) \approx 35.26^\circ$

   যেহেতু $\theta_1 \neq \theta_2$, তাই $\vec{P}+\vec{Q}$ ও $\vec{P}-\vec{Q}$ ভেক্টরদ্বয় +Y অক্ষের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে না।