beginarrayl A=\x: x মৌলিক সংখ্যা এবং x<4\ \\ M=\x in ma…

গণিত • সেট ও ফাংশন (Set and Function) • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৪

$\begin{array}{l} A=\{\mathrm{x}: \mathrm{x} \text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } \mathrm{x}<4\} \\ M=\{\mathrm{x} \in \mathbb{Z}:-3<\mathrm{x}<3\} \\ N=\{\mathrm{x} \in \mathbb{N}: \mathrm{x} \leq 3\} \\ \text{ এবং } \mathrm{y}^{6}-42 \sqrt{6} \mathrm{y}^{3}+1=0 \end{array}$

ক)
$A = \{x : x \text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } x < 4\}$ $\mathrm{A} \times \mathrm{A}$ নির্ণয় কর।
(1)
খ)
$\N \mathrm{C}=\mathrm{M}$ $\backslash \mathrm{N}$ হলে দেখাও যে, C এর উপাদান সংখ্যা n হলে $\mathrm{P}(\mathrm{C})$ এর উপাদান সংখ্যা $2^{\text {n }}$ সমর্থন করে।
(2)
গ)
দেখাও যে, $y=\sqrt{6}+\sqrt{5}$
(3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
$4$ এর চেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা ২ ও ৩। তাই $A=\{2,3\}$ ।

$A\times A=\{(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)\}$
খ)
$M=\{x\in\mathbb Z:-3<x<3\}=\{-2,-1,0,1,2\}$ এবং $N=\{x\in\mathbb N:x\le3\}=\{1,2,3\}$

$C=M\setminus N=\{-2,-1,0\}$ । এখানে $C$ এর উপাদান সংখ্যা $n=3$ ।

$P(C)=\{\emptyset,\{-2\},\{-1\},\{0\},\{-2,-1\},\{-2,0\},\{-1,0\},\{-2,-1,0\}\}$

$P(C)$ এর উপাদান সংখ্যা $8=2^3=2^n$ ।

সুতরাং, $C$ এর উপাদান সংখ্যা $n$ হলে $P(C)$ এর উপাদান সংখ্যা $2^n$ (দেখানো হলো)।
গ)
দেওয়া আছে, $y^6-42\sqrt6\,y^3+1=0$ । প্রমাণ করতে হবে $y=\sqrt6+\sqrt5$ এ সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।

সমীকরণকে $y^3$ দিয়ে ভাগ করে পাই, $y^3+\frac{1}{y^3}=42\sqrt6$ ...(i)

ধরি $y=\sqrt6+\sqrt5$ । তাহলে $\frac1y=\frac{1}{\sqrt6+\sqrt5}=\frac{\sqrt6-\sqrt5}{6-5}=\sqrt6-\sqrt5$

$y+\frac1y=(\sqrt6+\sqrt5)+(\sqrt6-\sqrt5)=2\sqrt6$

$y^3+\frac1{y^3}=\left(y+\frac1y\right)^3-3\left(y+\frac1y\right)$
$=(2\sqrt6)^3-3\cdot2\sqrt6$
$=48\sqrt6-6\sqrt6=42\sqrt6$

এটি (i) এর সাথে মিলে যায়। সুতরাং $y=\sqrt6+\sqrt5$ (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করো ওয়েবে খুলো

গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

সম্পর্কিত প্রশ্ন