পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করার জন্য যে ভেক্টর ব্যবহার করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তিনটি অক্ষ $x$, $y$ এবং $z$ পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত। ধনাত্মক $x$-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টরকে $\hat{i}$ এবং ধনাত্মক $y$-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টরকে $\hat{j}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যেহেতু $x$ ও $y$ অক্ষদ্বয় পরস্পরের ওপর লম্ব এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ সংজ্ঞাগতভাবেই $90^\circ$, তাই $\hat{i}$ ও $\hat{j}$ এর মধ্যবর্তী কোণ সর্বদাই $90^\circ$ থাকে; এর চেয়ে কম বা বেশি হওয়া সম্ভব নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$
   $\vec{C} = 4\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$

   $\vec{A}$ ও $\vec{C}$ এর ডট গুণন:
   $\vec{A} \cdot \vec{C} = (2)(4) + (3)(2) + (4)(-3) = 8 + 6 - 12 = 2$

   ভেক্টরদ্বয়ের মান:
   $|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$
   $|\vec{C}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}$

   যদি $\vec{A}$ ও $\vec{C}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হয়, তবে:
   $\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{C}}{|\vec{A}| |\vec{C}|} = \frac{2}{\sqrt{29} \times \sqrt{29}} = \frac{2}{29}$
   $\Rightarrow \theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{29}\right) \approx 86.05^\circ$

   অতএব, $\vec{A}$ ও $\vec{C}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $86.05^\circ$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$
   $\vec{B} = 5\hat{i} - \hat{j} + 6\hat{k}$

   দুটি ভেক্টর একই দিকে ক্রিয়াশীল হতে হলে তাদের মধ্যবর্তী কোণ $0^\circ$ হতে হবে অথবা তাদের অনুরূপ উপাংশগুলোর অনুপাত সমান ও ধনাত্মক হতে হবে।

   উপাংশগুলোর অনুপাত বিবেচনা করে:
   $\frac{A_x}{B_x} = \frac{2}{5} = 0.4$
   $\frac{A_y}{B_y} = \frac{3}{-1} = -3$
   $\frac{A_z}{B_z} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0.67$

   যেহেতু $\frac{A_x}{B_x} \neq \frac{A_y}{B_y} \neq \frac{A_z}{B_z}$, তাই ভেক্টরদ্বয় সমান্তরাল নয়।

   বিকল্পভাবে, ডট গুণনের সাহায্যে মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ নির্ণয় করা যায়:
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(5) + (3)(-1) + (4)(6) = 10 - 3 + 24 = 31$
   $|\vec{A}| = \sqrt{29} \approx 5.385$
   $|\vec{B}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 1 + 36} = \sqrt{62} \approx 7.874$
   $\cos\alpha = \frac{31}{\sqrt{29} \times \sqrt{62}} = \frac{31}{\sqrt{1798}} \approx \frac{31}{42.40} \approx 0.731$
   $\Rightarrow \alpha = \cos^{-1}(0.731) \approx 43^ circ \neq 0^\circ$

   যেহেতু মধ্যবর্তী কোণ $0^\circ$ নয়, সুতরাং $\vec{A}$ এবং $\vec{B}$ ভেক্টরদ্বয় একই দিকে ক্রিয়াশীল নয়।