উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • সরলরেখা (Straight Lines) • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উদ্দীপক: 4x+3y−12=0. 4x + 3y - 12 = 0.

  1. ক)

    উদ্দীপকের সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে, তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    উদ্দীপকের সরলরেখাটির সাপেক্ষে (112,5)\left(\frac{11}{2}, 5\right) বিন্দুর প্রতিবিম্বের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    (4, 5) বিন্দুগামী ও উদ্দীপকের সরলরেখাটির সাথে 45∘45^\circ কোণ উৎপন্নকারী রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকের সরলরেখা:
    4x+3y−12=04x + 3y - 12 = 0
    ⇒4x+3y=12\Rightarrow 4x + 3y = 12
    ⇒x3+y4=1\Rightarrow \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1

    রেখাটি xx-অক্ষকে A(3,0)A(3, 0) এবং yy-অক্ষকে B(0,4)B(0, 4) বিন্দুতে ছেদ করে।

    সুতরাং অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:
    Δ=12×∣OA∣×∣OB∣=12×3×4=6\Delta = \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 বর্গ একক।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকের সরলরেখা: 4x+3y−12=04x + 3y - 12 = 0
    প্রদত্ত বিন্দু: (x1,y1)=(112,5)(x_1, y_1) = \left(\frac{11}{2}, 5\right)
    ধরি, প্রতিবিম্বের স্থানাঙ্ক (h,k)(h, k)।

    প্রতিবিম্বের সূত্রানুসারে:
    h−x1a=k−y1b=−2(ax1+by1+c)a2+b2\frac{h - x_1}{a} = \frac{k - y_1}{b} = \frac{-2(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2}

    এখানে, a=4,b=3,c=−12a = 4, b = 3, c = -12
    ax1+by1+c=4(112)+3(5)−12=22+15−12=25ax_1 + by_1 + c = 4\left(\frac{11}{2}\right) + 3(5) - 12 = 22 + 15 - 12 = 25
    a2+b2=42+32=25a^2 + b^2 = 4^2 + 3^2 = 25

    সুতরাং,
    h−1124=k−53=−2(25)25=−2\frac{h - \frac{11}{2}}{4} = \frac{k - 5}{3} = \frac{-2(25)}{25} = -2

    তাহলে,
    h−1124=−2⇒h−112=−8⇒h=112−8=−52\frac{h - \frac{11}{2}}{4} = -2 \Rightarrow h - \frac{11}{2} = -8 \Rightarrow h = \frac{11}{2} - 8 = -\frac{5}{2}
    এবং
    k−53=−2⇒k−5=−6⇒k=−1\frac{k - 5}{3} = -2 \Rightarrow k - 5 = -6 \Rightarrow k = -1

    অতএব, নির্ণেয় প্রতিবিম্বের স্থানাঙ্ক (−52,−1)\left(-\frac{5}{2}, -1\right)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকের সরলরেখা: 4x+3y−12=04x + 3y - 12 = 0
    এর ঢাল, m1=−43m_1 = -\frac{4}{3}

    ধরি, নির্ণেয় রেখার ঢাল mm।
    রেখাটি উদ্দীপকের রেখার সাথে 45∘45^\circ কোণ উৎপন্ন করে।
    সুতরাং,
    tan⁡45∘=±m−m11+mm1\tan 45^\circ = \pm \frac{m - m_1}{1 + m m_1}
    ⇒1=±m−(−43)1+m(−43)=±3m+43−4m\Rightarrow 1 = \pm \frac{m - \left(-\frac{4}{3}\right)}{1 + m\left(-\frac{4}{3}\right)} = \pm \frac{3m + 4}{3 - 4m}

    (+) চিহ্ন নিয়ে:
    3−4m=3m+4⇒7m=−1⇒m=−173 - 4m = 3m + 4 \Rightarrow 7m = -1 \Rightarrow m = -\frac{1}{7}

    (-) চিহ্ন নিয়ে:
    3−4m=−(3m+4)=−3m−4⇒m=73 - 4m = -(3m + 4) = -3m - 4 \Rightarrow m = 7

    নির্ণেয় রেখাটি (4,5)(4, 5) বিন্দুগামী।

    m=−17m = -\frac{1}{7} হলে রেখার সমীকরণ:
    y−5=−17(x−4)y - 5 = -\frac{1}{7}(x - 4)
    ⇒7y−35=−x+4\Rightarrow 7y - 35 = -x + 4
    ⇒x+7y−39=0\Rightarrow x + 7y - 39 = 0

    m=7m = 7 হলে রেখার সমীকরণ:
    y−5=7(x−4)y - 5 = 7(x - 4)
    ⇒y−5=7x−28\Rightarrow y - 5 = 7x - 28
    ⇒7x−y−23=0\Rightarrow 7x - y - 23 = 0

    অতএব, নির্ণেয় রেখাদ্বয়ের সমীকরণ: x+7y−39=0x + 7y - 39 = 0 এবং 7x−y−23=07x - y - 23 = 0।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন