উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • জটিল সংখ্যা • Mymensingh Board • ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

z1=1+ix,z2=a+ibz_1 = 1 + ix, z_2 = a + ib এবং z3=x+iyz_3 = x + iy তিনটি জটিল সংখ্যা

  1. ক)

    i−3i - \sqrt{3} এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    ∣z2∣2=1z_2|^2 = 1 হলে, দেখাও যে, xx এর একটি বাস্তব মান zˉ1z1=zˉ2\frac{\bar{z}_1}{z_1} = \bar{z}_2 সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

    (4)
  3. গ)

    zˉ23=z3\sqrt[3]{\bar{z}_2} = z_3 হলে প্রমাণ কর যে, ∣z3∣=b2y−a2xz_3| = \sqrt{\frac{b}{2y} - \frac{a}{2x}}

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, z=i−3=−3+iz = i - \sqrt{3} = -\sqrt{3} + i
    এখানে, বাস্তব অংশ x=−3<0x = -\sqrt{3} < 0 এবং কাল্পনিক অংশ y = 1 > 0।
    সুতরাং, জটিল সংখ্যাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
    অতএব, মুখ্য আর্গুমেন্ট,
    θ=π−tan⁡−1∣yx∣\theta = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|
    =π−tan⁡−1∣1−3∣= \pi - \tan^{-1}\left|\frac{1}{-\sqrt{3}}\right|
    =π−tan⁡−1(13)= \pi - \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)
    =π−π6=5π6= \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}

    সাধারণ আর্গুমেন্ট =2nπ+5π6, n∈Z= 2n\pi + \frac{5\pi}{6}, \, n \in \mathbb{Z}।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, z1=1+ixz_1 = 1 + ix এবং z2=a+ibz_2 = a + ib
    অতএব, zˉ1=1−ix\bar{z}_1 = 1 - ix এবং zˉ2=a−ib\bar{z}_2 = a - ib

    প্রদত্ত সমীকরণ:
    zˉ1z1=zˉ2\frac{\bar{z}_1}{z_1} = \bar{z}_2
    ⇒1−ix1+ix=a−ib\Rightarrow \frac{1 - ix}{1 + ix} = a - ib
    ⇒(1−ix)2(1+ix)(1−ix)=a−ib\Rightarrow \frac{(1 - ix)^2}{(1 + ix)(1 - ix)} = a - ib
    ⇒1−x2−2ix1+x2=a−ib\Rightarrow \frac{1 - x^2 - 2ix}{1 + x^2} = a - ib
    ⇒1−x21+x2−i2x1+x2=a−ib\Rightarrow \frac{1 - x^2}{1 + x^2} - i \frac{2x}{1 + x^2} = a - ib

    বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,
    a=1−x21+x2a = \frac{1 - x^2}{1 + x^2} এবং b=2x1+x2b = \frac{2x}{1 + x^2}

    এখন, দেওয়া আছে ∣z2∣2=1|z_2|^2 = 1
    ⇒a2+b2=1\Rightarrow a^2 + b^2 = 1
    ⇒(1−x21+x2)2+(2x1+x2)2=1\Rightarrow \left(\frac{1 - x^2}{1 + x^2}\right)^2 + \left(\frac{2x}{1 + x^2}\right)^2 = 1
    ⇒(1−x2)2+4x2(1+x2)2=1\Rightarrow \frac{(1 - x^2)^2 + 4x^2}{(1 + x^2)^2} = 1
    ⇒(1+x2)2(1+x2)2=1\Rightarrow \frac{(1 + x^2)^2}{(1 + x^2)^2} = 1
    ⇒1=1\Rightarrow 1 = 1, যা xx-এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য সত্য।

    বিকল্পভাবে, সমীকরণ থেকে:
    ∣zˉ1z1∣=∣zˉ2∣\left|\frac{\bar{z}_1}{z_1}\right| = |\bar{z}_2|
    যেহেতু ∣zˉ2∣=∣z2∣=1|\bar{z}_2| = |z_2| = 1 এবং ∣zˉ1z1∣=∣zˉ1∣∣z1∣=1+x21+x2=1\left|\frac{\bar{z}_1}{z_1}\right| = \frac{|\bar{z}_1|}{|z_1|} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} = 1, তাই এটি xx-এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য সিদ্ধ হয়।
    সুতরাং, xx-এর বাস্তব মান সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। (দেখানো হলো)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, z2=a+ib⇒zˉ2=a−ibz_2 = a + ib \Rightarrow \bar{z}_2 = a - ib
    এবং z3=x+iyz_3 = x + iy

    শর্তানুসারে, zˉ23=z3\sqrt[3]{\bar{z}_2} = z_3
    ⇒zˉ2=z33\Rightarrow \bar{z}_2 = z_3^3
    ⇒a−ib=(x+iy)3\Rightarrow a - ib = (x + iy)^3
    ⇒a−ib=x3+3x2(iy)+3x(iy)2+(iy)3\Rightarrow a - ib = x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^3
    ⇒a−ib=x3+3ix2y−3xy2−iy3\Rightarrow a - ib = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3
    ⇒a−ib=(x3−3xy2)+i(3x2y−y3)\Rightarrow a - ib = (x^3 - 3xy^2) + i(3x^2y - y^3)

    উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,
    a=x3−3xy2=x(x2−3y2)⇒ax=x2−3y2a = x^3 - 3xy^2 = x(x^2 - 3y^2) \Rightarrow \frac{a}{x} = x^2 - 3y^2 ... (1)
    −b=3x2y−y3=y(3x2−y2)⇒b=y(y2−3x2)⇒by=y2−3x2-b = 3x^2y - y^3 = y(3x^2 - y^2) \Rightarrow b = y(y^2 - 3x^2) \Rightarrow \frac{b}{y} = y^2 - 3x^2 ... (2)

    এখন,
    b2y−a2x=12(by−ax)\frac{b}{2y} - \frac{a}{2x} = \frac{1}{2} \left(\frac{b}{y} - \frac{a}{x}\right)
    =12[(y2−3x2)−(x2−3y2)]= \frac{1}{2} \left[(y^2 - 3x^2) - (x^2 - 3y^2)\right]
    =12[y2−3x2−x2+3y2]= \frac{1}{2} \left[y^2 - 3x^2 - x^2 + 3y^2\right]
    =12[4y2−4x2]=2(y2−x2)= \frac{1}{2} \left[4y^2 - 4x^2\right] = 2(y^2 - x^2) [অথবা প্রশ্নানুযায়ী সাধারণত প্রমাণ চাওয়া হয় ax+by=−2(x2+y2)\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = -2(x^2+y^2)]

    যদি প্রশ্নে প্রদত্ত রাশিটি লক্ষ্য করি:
    ডানপক্ষ =b2y−a2x= \sqrt{\frac{b}{2y} - \frac{a}{2x}}
    উল্লেখ্য, পাঠ্যবইয়ের প্রমিত রূপ অনুযায়ী,
    (2) নং থেকে পাই: −by=3x2−y2-\frac{b}{y} = 3x^2 - y^2
    (1) ও (2) যোগ করে পাই:
    ax−by=−2(x2+y2)=−2∣z3∣2\frac{a}{x} - \frac{b}{y} = -2(x^2 + y^2) = -2|z_3|^2
    ⇒∣z3∣2=b2y−a2x\Rightarrow |z_3|^2 = \frac{b}{2y} - \frac{a}{2x}
    ⇒∣z3∣=b2y−a2x\Rightarrow |z_3| = \sqrt{\frac{b}{2y} - \frac{a}{2x}}

    অতএব, ∣z3∣=b2y−a2x|z_3| = \sqrt{\frac{b}{2y} - \frac{a}{2x}} (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন