উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $x^2 - 2ax + a^2 - b^2 = 0$

   সমীকরণটির নিশ্চয়ক,
   $D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - b^2)$
   $= 4a^2 - 4a^2 + 4b^2 = 4b^2 = (2b)^2$

   যেহেতু $b$ মূলদ, তাই নিশ্চয়ক $(2b)^2$ একটি পূর্ণবর্গ ও মূলদ সংখ্যা।
   কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের সহগগুলো মূলদ হলে এবং নিশ্চয়ক পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় সর্বদা মূলদ হয়।
   অতএব, $a, b$ মূলদ হলে (i) সমীকরণের মূলদ্বয় সর্বদা মূলদ হবে। (দেখানো হলো)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   (i) নং সমীকরণ: $x^2 - 2ax + a^2 - b^2 = 0$
   যেহেতু সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$,
   $\alpha + \beta = 2a$
   $\alpha\beta = a^2 - b^2$

   এখন,
   $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (2a)^2 - 4(a^2 - b^2) = 4a^2 - 4a^2 + 4b^2 = 4b^2$
   $\therefore |\alpha - \beta| = \sqrt{4b^2} = 2|b|$

   নতুন সমীকরণের মূল দুটি হলো $(\alpha + \beta)$ এবং $|\alpha - \beta|$ অর্থাৎ $2a$ এবং $2|b|$।
   মূলদ্বয়ের যোগফল $= 2a + 2|b| = 2(a + |b|)$
   মূলদ্বয়ের গুণফল $= 2a \cdot 2|b| = 4a|b|$

   অতএব, নির্ণেয় সমীকরণটি হলো:
   $x^2 - (\text{মূলদ্বয়ের যোগফল})x + (\text{মূলদ্বয়ের গুণফল}) = 0$
   $\Rightarrow x^2 - 2(a + |b|)x + 4a|b| = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত চতুর্ঘাত সমীকরণ:
   $x^4 - 9x^3 + 27x^2 - 33x + 14 = 0$

   যেহেতু সমীকরণের সহগগুলো মূলদ এবং একটি মূল $3 - \sqrt{2}$, সুতরাং অপর একটি মূল হবে এর অনুবন্ধী অমূলদ সংখ্যা $3 + \sqrt{2}$।

   এই মূল দুটি বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ:
   $[x - (3 - \sqrt{2})][x - (3 + \sqrt{2})] = 0$
   $\Rightarrow [(x - 3) + \sqrt{2}][(x - 3) - \sqrt{2}] = 0$
   $\Rightarrow (x - 3)^2 - 2 = 0$
   $\Rightarrow x^2 - 6x + 9 - 2 = 0$
   $\Rightarrow x^2 - 6x + 7 = 0$

   অতএব, $x^2 - 6x + 7$ রাশিটি প্রদত্ত সমীকরণের একটি উৎপাদক।
   এখন,
   $x^4 - 9x^3 + 27x^2 - 33x + 14$
   $= x^2(x^2 - 6x + 7) - 3x(x^2 - 6x + 7) + 2(x^2 - 6x + 7)$
   $= (x^2 - 6x + 7)(x^2 - 3x + 2)$

   সুতরাং,
   $(x^2 - 6x + 7)(x^2 - 3x + 2) = 0$
   $\Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0$
   $\Rightarrow (x - 1)(x - 2) = 0$
   $\Rightarrow x = 1, 2$

   অতএব, সমীকরণটির সমাধান বা মূলগুলো হলো: $1, 2, 3 - \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}$।