উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $x = \cos\theta$।
   তাহলে, $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}} = \tan\frac{\theta}{2}$
   সুতরাং, $y = \sin\left(2 \cdot \frac{\theta}{2}\right) = \sin\theta = \sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-x^2}$
   $\therefore \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $g(x) = f(3x) = \tan 3x$
   মূল নিয়মানুসারে,
   $\frac{d}{dx}\{f(3x)\} = \lim_{h \to 0} \frac{\tan(3x+3h)-\tan 3x}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(3x+3h-3x)}{h\cos(3x+3h)\cos 3x} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin 3h}{h} \cdot \frac{1}{\cos(3x+3h)\cos 3x}$
   $= 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{\cos^2 3x} = 3\sec^2 3x$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $y = \tan x + \sqrt{\sec^2 x} = \sec x + \tan x = \frac{1+\sin x}{\cos x}$
   $y_1 = \sec x(\sec x + \tan x) = y\sec x$
   $y_2 = y_1\sec x + y\sec x\tan x = y\sec^2 x + y\sec x\tan x = y\sec x(\sec x + \tan x) = y^2\sec x$
   এখন, $(1-\sin x)y_2 = (1-\sin x)y^2\sec x = y^2 \cdot \frac{1-\sin x}{\cos x} = y^2 \cdot \frac{1-\sin^2 x}{\cos x(1+\sin x)} = y^2 \cdot \frac{\cos x}{1+\sin x} = y^2 \cdot \frac{1}{y} = y$
   $\therefore (1-\sin x)y_2 - y = 0$ (প্রমাণিত)