উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\sin x + 16 \operatorname{cosec} x = 8$
   $\implies \sin x + \frac{16}{\sin x} = 8$
   $\implies \sin^2 x + 16 = 8\sin x$
   $\implies \sin^2 x - 8\sin x + 16 = 0$
   $\implies (\sin x - 4)^2 = 0$
   $\implies \sin x - 4 = 0$
   $\therefore \sin x = 4$

   অতএব, $\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{4}$

   বামপক্ষ $= \sin^n x + \operatorname{cosec}^n x$
   $= 4^n + \left(\frac{1}{4}\right)^n$
   $= (2^2)^n + (4^{-1})^n$
   $= 2^{2n} + (2^{-2})^n$
   $= 2^{2n} + 2^{-2n} =$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্রানুযায়ী, $OABC$ একটি রম্বস এবং $OA$ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r = 40\text{ cm}$।
   যেহেতু $OABC$ একটি রম্বস, সেহেতু এর প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।
   $\therefore OA = OC = AB = BC = 40\text{ cm}$
   এবং কোণ $\angle AOC = \theta = 45^\circ = 45 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4}\text{ rad}$

   $OABC$ রম্বসটির ক্ষেত্রফল:
   $\Delta OAC$-এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OC \cdot \sin 45^\circ$
   $\therefore OABC$ রম্বসের ক্ষেত্রফল $= 2 \times \left(\frac{1}{2} \cdot OA \cdot OC \cdot \sin 45^\circ\right)$
   $= 40 \times 40 \times \sin 45^\circ$
   $= 1600 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 800\sqrt{2} \approx 1131.3708\text{ cm}^2$

   আবার, $OAC$ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল:
   $= \frac{1}{2} r^2 \theta$
   $= \frac{1}{2} \times (40)^2 \times \frac{\pi}{4}$
   $= \frac{1}{2} \times 1600 \times \frac{\pi}{4}$
   $= 200\pi \approx 628.3185\text{ cm}^2$

   অতএব, $ABCA$ অংশের ক্ষেত্রফল:
   $=$ রম্বস $OABC$-এর ক্ষেত্রফল $-$ বৃত্তকলা $OAC$-এর ক্ষেত্রফল
   $= 800\sqrt{2} - 200\pi$
   $\approx 1131.3708 - 628.3185$
   $\approx 503.05\text{ cm}^2$ (প্রায়)।

   উত্তর: $503.05\text{ cm}^2$ (প্রায়)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ হতে, $f(x) = \sin x$
   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $y = f\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \cos(2x)$
   যেখানে ব্যবধি $-\pi \le x \le \pi$।

   $x$-এর বিভিন্ন মানের জন্য $y = \cos(2x)$-এর সংশ্লিষ্ট মান নির্ণয় করে সারণী তৈরি করি:

   $x$	$-\pi$	$-\frac{3\pi}{4}$	$-\frac{\pi}{2}$	$-\frac{\pi}{4}$	$0$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\pi$
   $2x$	$-2\pi$	$-\frac{3\pi}{2}$	$-\pi$	$-\frac{\pi}{2}$	$0$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$
   $y = \cos(2x)$	$1$	$0$	$-1$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$0$	$1$

   লেখচিত্র অঙ্কনের বিবরণ:
   ছক কাগজে $X$-অক্ষ বরাবর সুবিধাজনক স্কেলে (যেমন: প্রতি ক্ষুদ্রতম বর্গের ৩ বা ৬ ঘর = $\frac{\pi}{4}$ একক) এবং $Y$-অক্ষ বরাবর প্রতি ক্ষুদ্রতম বর্গের ৫ ঘর = ১ একক ধরে বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলো হলো:
   $(-\pi, 1)$, $\left(-\frac{3\pi}{4}, 0\right)$, $\left(-\frac{\pi}{2}, -1\right)$, $\left(-\frac{\pi}{4}, 0\right)$, $(0, 1)$, $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$, $\left(\frac{\pi}{2}, -1\right)$, $\left(\frac{3\pi}{4}, 0\right)$, $(\pi, 1)$।

   প্রাপ্ত বিন্দুগুলো একটি মসৃণ বক্ররেখা দ্বারা যুক্ত করলে $-\pi \le x \le \pi$ ব্যবধিতে $y = \cos(2x)$ ফাংশনের লেখচিত্র পাওয়া যায়। এর লেখচিত্রটি কোসাইন তরঙ্গের ন্যায় হবে যার বিস্তার ১ এবং পর্যায়কাল $\pi$।