উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

A=[1+m2323+m1312+m],B=[xyz],C=[608]A=\left[\begin{array}{ccc}1+m & 2 & 3 \\ 2 & 3+m & 1 \\ 3 & 1 & 2+m\end{array}\right], B=\left[\begin{array} {l}x \\ y \\ z\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{l}6 \\ 0 \\ 8\end{array}\right]

  1. ক)

    প্রমাণ কর যে, ∣∣1111pp21p2p4∣=p(p−1)2(p2−1)\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & p & p^{2} \\ 1 & p^{2} & p^{4}\end{array}\right|=p(p-1)^{2}\left(p^{2}-1\right)

    (2)
  2. খ)

    m=0\mathrm{m}=0 হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    AB= C হলে নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর, যখন m= 1.

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    বামপক্ষ = ∣1111pp21p2p4∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & p & p^2 \\ 1 & p^2 & p^4 \end{vmatrix}

    কলাম রূপান্তর প্রয়োগ করে: C1′=C1−C2C_1' = C_1 - C_2 এবং C2′=C2−C3C_2' = C_2 - C_3:
    =∣0011−pp−p2p21−p2p2−p4p4∣= \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1-p & p-p^2 & p^2 \\ 1-p^2 & p^2-p^4 & p^4 \end{vmatrix}

    প্রথম সারি বরাবর বিস্তার করে:
    =1⋅∣1−pp(1−p)1−p2p2(1−p2)∣= 1 \cdot \begin{vmatrix} 1-p & p(1-p) \\ 1-p^2 & p^2(1-p^2) \end{vmatrix}
    =(1−p)(1−p2)∣1p1p2∣= (1-p)(1-p^2) \begin{vmatrix} 1 & p \\ 1 & p^2 \end{vmatrix}
    =(1−p)(1−p2)(p2−p)= (1-p)(1-p^2)(p^2 - p)
    =−(p−1)⋅(−(p2−1))⋅p(p−1)= -(p-1) \cdot (-(p^2-1)) \cdot p(p-1)
    =p(p−1)2(p2−1)= p(p-1)^2(p^2-1) = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    m=0m = 0 হলে,
    A=[123231312]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix}

    det⁡(A)=1(6−1)−2(4−3)+3(2−9)\det(A) = 1(6 - 1) - 2(4 - 3) + 3(2 - 9)
    =1(5)−2(1)+3(−7)=5−2−21=−18≠0= 1(5) - 2(1) + 3(-7) = 5 - 2 - 21 = -18 \neq 0

    AA-এর সহগুণকসমূহ:
    A11=+(6−1)=5A_{11} = +(6 - 1) = 5
    A12=−(4−3)=−1A_{12} = -(4 - 3) = -1
    A13=+(2−9)=−7A_{13} = +(2 - 9) = -7
    A21=−(4−3)=−1A_{21} = -(4 - 3) = -1
    A22=+(2−9)=−7A_{22} = +(2 - 9) = -7
    A23=−(1−6)=5A_{23} = -(1 - 6) = 5
    A31=+(2−9)=−7A_{31} = +(2 - 9) = -7
    A32=−(1−6)=5A_{32} = -(1 - 6) = 5
    A33=+(3−4)=−1A_{33} = +(3 - 4) = -1

    adj(A)=[5−1−7−1−75−75−1]T=[5−1−7−1−75−75−1]\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & -1 & -7 \\ -1 & -7 & 5 \\ -7 & 5 & -1 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 5 & -1 & -7 \\ -1 & -7 & 5 \\ -7 & 5 & -1 \end{bmatrix}

    অতএব,
    A−1=1det⁡(A)adj(A)=−118[5−1−7−1−75−75−1]A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = -\frac{1}{18} \begin{bmatrix} 5 & -1 & -7 \\ -1 & -7 & 5 \\ -7 & 5 & -1 \end{bmatrix}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    m=1m = 1 হলে,
    A=[223241313]A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{bmatrix}

    AB=C  ⟹  [223241313][xyz]=[608]AB = C \implies \begin{bmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{bmatrix}

    ক্রেমারের নিয়ম (নির্ণায়কের সাহায্যে):
    D=∣223241313∣D = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{vmatrix}
    =2(12−1)−2(6−3)+3(2−12)=2(11)−2(3)+3(−10)=22−6−30=−14= 2(12 - 1) - 2(6 - 3) + 3(2 - 12) = 2(11) - 2(3) + 3(-10) = 22 - 6 - 30 = -14

    Dx=∣623041813∣D_x = \begin{vmatrix} 6 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 8 & 1 & 3 \end{vmatrix}
    =6(12−1)−2(0−8)+3(0−32)=6(11)+16−96=66+16−96=−14= 6(12 - 1) - 2(0 - 8) + 3(0 - 32) = 6(11) + 16 - 96 = 66 + 16 - 96 = -14

    Dy=∣263201383∣D_y = \begin{vmatrix} 2 & 6 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 8 & 3 \end{vmatrix}
    =2(0−8)−6(6−3)+3(16−0)=−16−18+48=14= 2(0 - 8) - 6(6 - 3) + 3(16 - 0) = -16 - 18 + 48 = 14

    Dz=∣226240318∣D_z = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 6 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 1 & 8 \end{vmatrix}
    =2(32−0)−2(16−0)+6(2−12)=64−32−60=−28= 2(32 - 0) - 2(16 - 0) + 6(2 - 12) = 64 - 32 - 60 = -28

    অতএব,
    x=DxD=−14−14=1x = \frac{D_x}{D} = \frac{-14}{-14} = 1
    y=DyD=14−14=−1y = \frac{D_y}{D} = \frac{14}{-14} = -1
    z=DzD=−28−14=2z = \frac{D_z}{D} = \frac{-28}{-14} = 2

    নির্ণেয় সমাধান: (x,y,z)=(1,−1,2)(x, y, z) = (1, -1, 2)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন