উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, এককের কাল্পনিক বা জটিল ঘনমূলদ্বয় হলো:
   $\omega = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ এবং $\omega^2 = \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}$
   অতএব, $-1+\sqrt{-3} = 2\omega$ এবং $-1-\sqrt{-3} = 2\omega^2$

   প্রদত্ত রাশি:
   $(-1+\sqrt{-3})^{7} + (-1-\sqrt{-3})^{7}$
   $= (2\omega)^{7} + (2\omega^2)^{7}$
   $= 2^7 \cdot \omega^7 + 2^7 \cdot \omega^{14}$
   $= 128 (\omega^7 + \omega^{14})$

   আমরা জানি, $\omega^3 = 1$ এবং $1 + \omega + \omega^2 = 0$
   এখানে,
   $\omega^7 = (\omega^3)^2 \cdot \omega = 1^2 \cdot \omega = \omega$
   $\omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$

   সুতরাং,
   $128 (\omega + \omega^2) = 128 \times (-1) = -128$

   উত্তর: $-128$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প ১ হতে,
   $z = 2 + 4i - i^2$
   যেহেতু $i^2 = -1$,
   $z = 2 + 4i - (-1) = 3 + 4i$

   $z$ এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা $\bar{z} = 3 - 4i$

   ধরি, $\bar{z}$ এর বর্গমূল $w = \pm (x + iy)$
   তাহলে, $w^2 = \bar{z}$

   উভয়পক্ষে মডুলাস নিয়ে পাই,
   $|w^2| = |\bar{z}|$
   $\Rightarrow |w|^2 = |\bar{z}|$
   $\Rightarrow |w| = \sqrt{|\bar{z}|}$

   এখন, $|\bar{z}| = |3 - 4i| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

   অতএব, $\bar{z}$ এর বর্গমূলের মডুলাস,
   $|w| = \sqrt{5}$

   সুতরাং, দৃশ্যকল্প-১ এ $\bar{z}$ এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা $\sqrt{5}$—উক্তিটি সঠিক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প ২-এ প্রদত্ত সমীকরণ:
   $p x^2 + q x + r = 0$
   যেহেতু সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ এবং $\beta$,
   মূল ও সহগের সম্পর্ক হতে পাই,
   $\alpha + \beta = -\frac{q}{p}$
   $\alpha \beta = \frac{r}{p}$

   যে সমীকরণের মূলদ্বয় $\frac{2}{\alpha}$ এবং $\frac{2}{\beta}$, তার ক্ষেত্রে:
   মূলদ্বয়ের যোগফল $= \frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} = 2\left(\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}\right) = 2 \cdot \frac{-\frac{q}{p}}{\frac{r}{p}} = -\frac{2q}{r}$

   মূলদ্বয়ের গুণফল $= \frac{2}{\alpha} \cdot \frac{2}{\beta} = \frac{4}{\alpha \beta} = \frac{4}{\frac{r}{p}} = \frac{4p}{r}$

   অতএব, নির্ণেয় সমীকরণটি হবে:
   $x^2 - (\text{মূলদ্বয়ের যোগফল})x + (\text{মূলদ্বয়ের গুণফল}) = 0$
   $\Rightarrow x^2 - \left(-\frac{2q}{r}\right)x + \frac{4p}{r} = 0$
   $\Rightarrow x^2 + \frac{2q}{r}x + \frac{4p}{r} = 0$

   উভয়পক্ষকে $r$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $r x^2 + 2q x + 4p = 0$

   উত্তর: $r x^2 + 2q x + 4p = 0$