উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $I = \int \ln(x^3) \, dx$
   আমরা জানি, $\ln(x^3) = 3\ln x$
   $\therefore I = 3 \int \ln x \, dx = 3 \int (\ln x \cdot 1) \, dx$

   খণ্ডশ যোগজীকরণ (by parts) সূত্র প্রয়োগ করে:
   $I = 3 \left[ \ln x \int 1 \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\ln x) \int 1 \, dx \right) dx \right]$
   $= 3 \left[ x \ln x - \int \left( \frac{1}{x} \cdot x \right) dx \right]$
   $= 3 \left[ x \ln x - \int 1 \, dx \right]$
   $= 3 (x \ln x - x) + C = 3x(\ln x - 1) + C$

   যেখানে $C$ একটি সমাকলন ধ্রুবক।
   উত্তর: $3x(\ln x - 1) + C$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ থেকে, $f(x) = \tan x$
   $\therefore f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cot x$

   প্রদত্ত যোগজ:
   $I = \int \frac{dx}{5 + f\left(\frac{\pi}{2} - x\right)} = \int \frac{dx}{5 + \cot x} = \int \frac{dx}{5 + \frac{\cos x}{\sin x}} = \int \frac{\sin x}{5\sin x + \cos x} \, dx$

   লব $\sin x$-কে নিম্নোক্ত আকারে লিখি:
   $\sin x = A(5\sin x + \cos x) + B \frac{d}{dx}(5\sin x + \cos x)$
   $\implies \sin x = A(5\sin x + \cos x) + B(5\cos x - \sin x)$
   $\implies \sin x = (5A - B)\sin x + (A + 5B)\cos x$

   উভয়পক্ষ হতে $\sin x$ ও $\cos x$-এর সহগ সমীকৃত করে পাই:
   $5A - B = 1$
   $A + 5B = 0 \implies A = -5B$

   মান বসিয়ে:
   $5(-5B) - B = 1 \implies -26B = 1 \implies B = -\frac{1}{26}$
   $A = -5\left(-\frac{1}{26}\right) = \frac{5}{26}$

   অতএব,
   $I = \int \frac{\frac{5}{26}(5\sin x + \cos x) - \frac{1}{26}(5\cos x - \sin x)}{5\sin x + \cos x} \, dx$
   $= \frac{5}{26} \int 1 \, dx - \frac{1}{26} \int \frac{5\cos x - \sin x}{5\sin x + \cos x} \, dx$
   $= \frac{5}{26} x - \frac{1}{26} \ln|5\sin x + \cos x| + C$

   যেখানে $C$ একটি সমাকলন ধ্রুবক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণ:
   $9x^2 + 25y^2 = 225$
   $\implies \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \implies \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$
   এটি একটি উপবৃত্ত, যার বৃহৎ অক্ষ $x$-অক্ষ বরাবর এবং $a = 5, b = 3$।

   উপবৃত্ত থেকে $y$-এর মান (১ম চতুর্ভাগে $y \ge 0$):
   $25y^2 = 225 - 9x^2 = 9(25 - x^2)$
   $\implies y = \frac{3}{5} \sqrt{25 - x^2}$

   প্রশ্নমতে, উপবৃত্ত ও $x - 3 = 0$ (অর্থাৎ $x = 3$) সরলরেখা দ্বারা ১ম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রটির সীমা $x = 0$ থেকে $x = 3$ পর্যন্ত (অথবা $x = 3$ থেকে উপবৃত্তের প্রান্তবিন্দু $x = 5$ পর্যন্ত)।
   সাধারণ পাঠ্যপুস্তকের প্রশ্নানুযায়ী, $y$-অক্ষ ($x=0$), $x=3$ সরলরেখা এবং ১ম চতুর্ভাগে উপবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
   $A = \int_0^3 y \, dx = \frac{3}{5} \int_0^3 \sqrt{5^2 - x^2} \, dx$

   আমরা জানি, $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$

   অতএব,
   $A = \frac{3}{5} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{25 - x^2} + \frac{25}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) \right]_0^3$
   $= \frac{3}{5} \left[ \left( \frac{3}{2}\sqrt{25 - 9} + \frac{25}{2}\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \right) - 0 \right]$
   $= \frac{3}{5} \left[ \frac{3}{2}(4) + \frac{25}{2}\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \right]$
   $= \frac{3}{5} \left[ 6 + \frac{25}{2}\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \right]$
   $= \frac{18}{5} + \frac{15}{2}\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ বর্গ একক।

   [বিকল্পভাবে, $x=3$ হতে $x=5$ এর মধ্যবর্তী অংশের ক্ষেত্রফল চাইলে:
   $A' = \int_3^5 y \, dx = \frac{3}{5} \left[ \frac{25\pi}{4} - \left(6 + \frac{25}{2}\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\right) \right] = \frac{15\pi}{4} - \frac{18}{5} - \frac{15}{2}\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ বর্গ একক]