উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, $t$ সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব $s_t = ut + \frac{1}{2}at^2$
   এবং $(t - 1)$ সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব $s_{t-1} = u(t - 1) + \frac{1}{2}a(t - 1)^2$

   অতএব, $t$-তম সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব,
   $s_{t\text{-th}} = s_t - s_{t-1}$
   $= \left[ut + \frac{1}{2}at^2\right] - \left[u(t - 1) + \frac{1}{2}a(t - 1)^2\right]$
   $= ut + \frac{1}{2}at^2 - ut + u - \frac{1}{2}a(t^2 - 2t + 1)$
   $= u + \frac{1}{2}at^2 - \frac{1}{2}at^2 + at - \frac{1}{2}a$
   $= u + \frac{1}{2}a(2t - 1)$।

   সুতরাং, $t$-তম সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব $= u + \frac{1}{2}a(2t - 1)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মনে করি, ট্রেনটি যাত্রার প্রথম অংশে $t_1$ সময়ে $x$ সমত্বরণে চলে $v$ সর্বোচ্চ বেগ অর্জন করে এবং দ্বিতীয় অংশে $t_2$ সময়ে $y$ সমমন্দনে চলে থেমে যায়।

   ত্বরণের ক্ষেত্রে: $v = 0 + xt_1 \Rightarrow t_1 = \frac{v}{x}$
   মন্দনের ক্ষেত্রে: $0 = v - yt_2 \Rightarrow t_2 = \frac{v}{y}$

   মোট সময়, $t = t_1 + t_2 = \frac{v}{x} + \frac{v}{y} = v\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)$ ...... (১)

   প্রথম অংশে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_1 = \frac{0 + v}{2} \cdot t_1 = \frac{vt_1}{2}$
   দ্বিতীয় অংশে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_2 = \frac{v + 0}{2} \cdot t_2 = \frac{vt_2}{2}$

   মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s = s_1 + s_2 = \frac{v}{2}(t_1 + t_2) = \frac{vt}{2}$
   $\Rightarrow v = \frac{2s}{t}$ ...... (২)

   (১) নং সমীকরণে $v$ এর মান বসিয়ে পাই,
   $t = \frac{2s}{t}\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)$
   $\Rightarrow \frac{t^2}{2s} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$
   $\Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{t^2}{2s}$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রক্ষেপকের ক্ষেত্রে আনুভূমিক পাল্লা R হলে ট্র্যাজেক্টোরির সমীকরণ:
   y = x tan α (1 - x / R)

   বলটি (1/b, 1/a) এবং (1/a, 1/b) বিন্দুগামী।
   প্রথম বিন্দুর জন্য,
   1/a = (1/b) tan α (1 - 1/(b R))
   ⇒ b/a = tan α [(b R - 1) / (b R)] ...... (১)

   দ্বিতীয় বিন্দুর জন্য,
   1/b = (1/a) tan α (1 - 1/(a R))
   ⇒ a/b = tan α [(a R - 1) / (a R)] ...... (২)

   (১) নং কে (২) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
   (b/a) / (a/b) = [tan α (b R - 1) / (b R)] / [tan α (a R - 1) / (a R)]
   ⇒ b^2 / a^2 = [a (b R - 1)] / [b (a R - 1)]
   ⇒ b^3 / a^3 = (b R - 1) / (a R - 1)
   ⇒ b^3 (a R - 1) = a^3 (b R - 1)
   ⇒ a b^3 R - b^3 = a^3 b R - a^3
   ⇒ a^3 - b^3 = a^3 b R - a b^3 R
   ⇒ a^3 - b^3 = a b R (a^2 - b^2)
   ⇒ (a - b)(a^2 + a b + b^2) = a b R (a - b)(a + b)

   উভয়পক্ষকে (a - b) দ্বারা ভাগ করে পাই (যেহেতু a ≠ b),
   a^2 + a b + b^2 = a b (a + b) R
   ⇒ R = (a^2 + a b + b^2) / [(a + b) a b] (দেখানো হলো)।