পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র • ভেক্টর • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২৪

পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

r⃗=axi^+yj^+2k^P⃗=2i^+3j^+4k^Q⃗=4i^+4j^−k^\begin{array}{l}\vec{r}=a x \hat{i}+y \hat{j}+2 \hat{k} \\ \vec{P}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k} \\ \vec{Q}=4 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}\end{array}

  1. ক)

    অবস্থান ভেক্টর কাকে বলে?

    (1)
  2. খ)

    j^×k^\hat{j} \times \hat{k} একটি একক ভেক্টর ব্যাখ্যা কর।

    (2)
  3. গ)

    α\alpha এর মান কত হলে rˉ\bar r ভেক্টরের ক্ষেত্রটি সলিনয়েড হবে নির্ণয় ।

    (3)
  4. ঘ)

    P⃗×Q⃗\vec{P} \times \vec{Q} ভেক্টর ক্ষেত্রটি ঘূর্ণনশীল না অঘুর্ণণশীল — গাণিতিক বিশ্লেশণ করে মতামত দাও ।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশক ভেক্টরকে অবস্থান ভেক্টর বলে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ডানহাতি কর্ক-স্ক্রু নিয়ম অনুসারে, ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় yy-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর j^\hat{j} এবং zz-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর k^\hat{k}।
    এদের ক্রস গুণন,
    j^×k^=∣j^∣∣k^∣sin⁡90∘η^=1⋅1⋅1⋅i^=i^\hat{j} \times \hat{k} = |\hat{j}||\hat{k}| \sin 90^\circ \hat{\eta} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \hat{i} = \hat{i}
    যেখানে i^\hat{i} হলো ধনাত্মক xx-অক্ষ বরাবর একটি একক ভেক্টর, যার মান ১।
    অতএব, j^×k^\hat{j} \times \hat{k} এর মান ১ এবং দিক xx-অক্ষ বরাবর, তাই এটি একটি একক ভেক্টর।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    r⃗=axi^+yj^+2k^\vec{r} = a x \hat{i} + y \hat{j} + 2 \hat{k}
    কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র সলিনয়েডাল হওয়ার শর্ত হলো তার ডাইভারজেন্স শূন্য হবে, অর্থাৎ ∇⃗⋅r⃗=0\vec{\nabla} \cdot \vec{r} = 0।
    আমরা জানি,
    ∇⃗⋅r⃗=(∂∂xi^+∂∂yj^+∂∂zk^)⋅(axi^+yj^+2k^)\vec{\nabla} \cdot \vec{r} = \left( \frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k} \right) \cdot (a x \hat{i} + y \hat{j} + 2 \hat{k})
    =∂∂x(ax)+∂∂y(y)+∂∂z(2)= \frac{\partial}{\partial x}(a x) + \frac{\partial}{\partial y}(y) + \frac{\partial}{\partial z}(2)
    =a+1+0=a+1= a + 1 + 0 = a + 1
    সলিনয়েডাল হওয়ার জন্য,
    a+1=0  ⟹  a=−1a + 1 = 0 \implies a = -1
    অতএব, aa (বা উদ্দীপকে উল্লিখিত α\alpha) এর মান −1-1 হলে ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়েড হবে।

  4. ঘ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    P⃗=2i^+3j^+4k^\vec{P} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}
    Q⃗=4i^+4j^−k^\vec{Q} = 4\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}
    তাহলে,
    P⃗×Q⃗=∣i^j^k^23444−1∣\vec{P} \times \vec{Q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & 4 & -1 \end{vmatrix}
    =i^(−3−16)−j^(−2−16)+k^(8−12)= \hat{i}(-3 - 16) - \hat{j}(-2 - 16) + \hat{k}(8 - 12)
    =−19i^+18j^−4k^= -19\hat{i} + 18\hat{j} - 4\hat{k}
    ধরি, A⃗=P⃗×Q⃗=−19i^+18j^−4k^\vec{A} = \vec{P} \times \vec{Q} = -19\hat{i} + 18\hat{j} - 4\hat{k}
    এখন, ক্ষেত্রটি ঘূর্ণনশীল না অঘূর্ণনশীল তা জানার জন্য এর কার্ল (Curl) নির্ণয় করতে হবে:
    ∇⃗×A⃗=∣i^j^k^∂∂x∂∂y∂∂z−1918−4∣\vec{\nabla} \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ -19 & 18 & -4 \end{vmatrix}
    যেহেতু A⃗\vec{A}-এর সকল উপাংশ ধ্রুবক সংখ্যা (স্থানিক স্থানাঙ্ক x,y,zx, y, z এর উপর নির্ভরশীল নয়), তাই এদের আংশিক ব্যবকলন শূন্য হবে:
    =i^(∂(−4)∂y−∂(18)∂z)−j^(∂(−4)∂x−∂(−19)∂z)+k^(∂(18)∂x−∂(−19)∂y)= \hat{i}\left( \frac{\partial(-4)}{\partial y} - \frac{\partial(18)}{\partial z} \right) - \hat{j}\left( \frac{\partial(-4)}{\partial x} - \frac{\partial(-19)}{\partial z} \right) + \hat{k}\left( \frac{\partial(18)}{\partial x} - \frac{\partial(-19)}{\partial y} \right)
    =0i^−0j^+0k^=0⃗= 0\hat{i} - 0\hat{j} + 0\hat{k} = \vec{0}
    যেহেতু ∇⃗×(P⃗×Q⃗)=0⃗\vec{\nabla} \times (\vec{P} \times \vec{Q}) = \vec{0}, তাই P⃗×Q⃗\vec{P} \times \vec{Q} ভেক্টর ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন