উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: HSC সৃজনশীল প্রশ্নের কাঠামোর ক, খ, গ অংশ যথাক্রমে ২, ৪ ও ৪ নম্বরের এবং ঘ অংশটি অপ্রাসঙ্গিক বা ফাঁকা।

   বাস্তব সহগবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের জটিল মূলগুলো অনুবন্ধী যুগলে থাকে।
   একটি মূল $2 - 3i$ হলে অপর মূলটি $2 + 3i$।

   মূলদ্বয়ের যোগফল $= (2 - 3i) + (2 + 3i) = 4$
   মূলদ্বয়ের গুণফল $= (2 - 3i)(2 + 3i) = 4 - 9i^2 = 4 + 9 = 13$

   অতএব, নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ:
   $x^2 - 4x + 13 = 0$

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: HSC সৃজনশীল প্রশ্নের কাঠামোর ক, খ, গ অংশ যথাক্রমে ২, ৪ ও ৪ নম্বরের এবং ঘ অংশটি অপ্রাসঙ্গিক বা ফাঁকা।

   দেওয়া আছে, $\varphi(x) = x^3 - 9x^2 + 21x - 5 = 0$
   একটি মূল $5$ হওয়ায় $(x - 5)$ এর একটি উৎপাদক।

   $x^3 - 9x^2 + 21x - 5 = 0$
   $\implies x^2(x - 5) - 4x(x - 5) + 1(x - 5) = 0$
   $\implies (x - 5)(x^2 - 4x + 1) = 0$

   অপর মূলদ্বয়ের জন্য:
   $x^2 - 4x + 1 = 0$
   $\implies x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

   অতএব, অপর মূলদ্বয় $2 + \sqrt{3}$ এবং $2 - \sqrt{3}$।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: HSC সৃজনশীল প্রশ্নের কাঠামোর ক, খ, গ অংশ যথাক্রমে ২, ৪ ও ৪ নম্বরের এবং ঘ অংশটি অপ্রাসঙ্গিক বা ফাঁকা।

   দেওয়া আছে, $\psi(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 8 = 0$
   মূলত্রয় $a, b, c$ হলে:
   $a + b + c = 3$
   $ab + bc + ca = 5$
   $abc = 8$

   $a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) = 3^2 - 2(5) = -1$

   এখন,
   $\Sigma a^3 b = (ab + bc + ca)(a^2 + b^2 + c^2) - abc(a + b + c)$
   $= 5(-1) - 8(3) = -5 - 24 = -29$

   অতএব, নির্ণেয় মান $-29$।