z1=-1-i sqrt3, z2=sqrt3-i.

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • জটিল সংখ্যা • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২৩

$z_{1}=-1-i \sqrt{3}, z_{2}=\sqrt{3}-i$ .

ক)
$\mathrm{z}_{1}$ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
(2)
খ)
দেখাও যে, $\operatorname{Arg}\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=\operatorname{Arg} z_{1}-\operatorname{Arg} z_{2}$ .
(4)
গ)
প্রমাণ কর যে, $\left(\frac{1}{2} \bar{z}_{1}\right)^{\mathrm{n}}+\left(\frac{1}{2} \mathrm{z}_{1}\right)^{\mathrm{n}}=2$ , যখন $\mathrm{n}$ এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য অথবা, -1 , যখন $\mathrm{n}$ এর মান অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যা।
(4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

$\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1 - i\sqrt{3})$
খ)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

দেখানো হলো যে, $\operatorname{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \operatorname{Arg} z_1 - \operatorname{Arg} z_2 = -\frac{\pi}{2}$
গ)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

প্রমাণিত যে, রাশিটির মান $2$ যখন $n$ সংখ্যাটি $3$ দ্বারা বিভাজ্য, এবং $-1$ যখন $n$ অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যা।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও