গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ১৫ সে.মি. হলে প্রতিটি বাহু $=\frac{15}{3}=5$ সে.মি.

   ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt3}{4}a^2=\frac{\sqrt3}{4}\times5^2=\frac{25\sqrt3}{4}\approx10.83$

   নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $\frac{25\sqrt3}{4}$ বর্গ সে.মি. (প্রায় ১০.৮৩ বর্গ সে.মি.)

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle ABC$ এ $AB=AC$, $\angle A=90^\circ$ এবং অতিভুজ $BC$ এর ওপর $D$ যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে $DB^2+DC^2=2DA^2$।

   অঙ্কন: $A$ থেকে $BC$ এর ওপর $AE$ লম্ব আঁকি।

   প্রমাণ: $AB=AC$, $\angle A=90^\circ$ বলে $\angle B=45^\circ$। $\triangle ABE$ এ $\angle AEB=90^\circ$, $\angle B=45^\circ$, তাই $AE=BE$। আবার $BE=EC$ (সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষ থেকে লম্ব ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে)। সুতরাং $AE=BE=EC$।

   ধরি $D$ বিন্দু $E$ ও $C$ এর মাঝে অবস্থিত। তাহলে $DB=BE+ED$ এবং $DC=EC-ED=BE-ED$।

   $DB^2+DC^2=(BE+ED)^2+(BE-ED)^2=2BE^2+2ED^2$

   সমকোণী $\triangle ADE$ এ, $DA^2=AE^2+ED^2=BE^2+ED^2$

   $\therefore DB^2+DC^2=2(BE^2+ED^2)=2DA^2$ (প্রমাণিত)।

   ($D$ বিন্দু $E$ ও $B$ এর মাঝে থাকলে প্রমাণ অনুরূপ।)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle PQR$ এ $PQ$ ও $PR$ এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $M$ ও $N$। প্রমাণ করতে হবে $MN\parallel QR$ এবং $MN=\frac12QR$।

   অঙ্কন: $MN$ কে $L$ পর্যন্ত বাড়াই যেন $NL=MN$ হয়। $L$ ও $R$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $\triangle PNM$ ও $\triangle RNL$ এ,
   $PN=NR$ ($N$, $PR$ এর মধ্যবিন্দু)
   $MN=NL$ (অঙ্কনানুসারে)
   $\angle PNM=\angle RNL$ (বিপ্রতীপ কোণ)

   $\therefore \triangle PNM\cong\triangle RNL$

   $\therefore PM=RL$ এবং $\angle MPN=\angle NRL$। এ দুটি একান্তর কোণ, তাই $PM\parallel RL$, অর্থাৎ $QM\parallel RL$।

   $PM=MQ$ ($M$, $PQ$ এর মধ্যবিন্দু), তাই $QM=RL$।

   $QM$ ও $RL$ সমান ও সমান্তরাল, তাই $MQRL$ একটি সামান্তরিক।

   $\therefore ML\parallel QR$, অর্থাৎ $MN\parallel QR$ এবং $ML=QR$।

   $MN=\frac12ML=\frac12QR$

   সুতরাং, $MN\parallel QR$ এবং $MN=\frac12QR$ (প্রমাণিত)।