f(x) = sin x এবং g(x) = sqrtx . | প্রশ্ন | উৎসাহ

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • যোগজীকরণ • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২১

$f(x) = \sin x$ এবং $g(x) = \sqrt{x}$ .

ক)
প্রমাণ কর যে, $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1} \frac{x}{a} + c$ , যেখানে c একটি সমাকলিত ধ্রুবক।
(2)
খ)
মূল নিয়মে $\frac{f(2x)}{f(\frac{\pi}{2} - 2x)}$ এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
(4)
গ)
দেখাও যে, $\frac{2 \ln \{g(x)\}}{\{g(x)\}^2}$ ফাংশনের সর্বোচ্চ মান $\frac{1}{e}$ .
(4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, x = a sin θ, dx = a cos θ dθ।
∫ dx / √(a² - x²) = ∫ a cos θ dθ / (a cos θ) = ∫ dθ = θ + c = sin⁻¹(x/a) + c (প্রমাণিত)।
খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর

2 sec² 2x
গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া ফাংশন y = (ln x)/x; dy/dx = (1 - ln x)/x² = 0 হলে x = e। x = e-তে d²y/dx² < 0 হওয়ায় মান সর্বোচ্চ এবং সর্বোচ্চ মান = (ln e)/e = 1/e (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করো ওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন