উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ • Mymensingh Board • ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: ax2+bx+c=0\mathrm{ax}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0 এবং bx2+cx+a=0\mathrm{bx}^2+\mathrm{cx}+\mathrm{a}=0
দৃশ্যকল্প-২ : 8x3−36x2+22x+21=08 x^3-36 x^2+22 x+21=0.

  1. ক)

    z1=3+3i,z2=4+5i\mathrm{z}_1=3+3 \mathrm{i}, \mathrm{z}_2=4+5 \mathrm{i} হলে দেখাও যে, z1+z2‾=z‾1+z‾2\overline{\mathrm{z}_1+\mathrm{z}_2}=\overline{\mathrm{z}}_1+\overline{\mathrm{z}}_2.

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এর দ্বিঘাত সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে দেখাও যে, a3+b3+c3=3abca^3+b^3+c^3=3 a b c.

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণের মূলত্রয় সমান্তর প্রগমনভুক্ত হলে মূলগুলো নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, z1=3+3iz_1 = 3 + 3i এবং z2=4+5iz_2 = 4 + 5i।
    ∴z‾1=3−3i\therefore \overline{z}_1 = 3 - 3i এবং z‾2=4−5i\overline{z}_2 = 4 - 5i

    z1+z2=(3+3i)+(4+5i)=7+8iz_1 + z_2 = (3 + 3i) + (4 + 5i) = 7 + 8i
    ∴z1+z2‾=7+8i‾=7−8i\therefore \overline{z_1 + z_2} = \overline{7 + 8i} = 7 - 8i

    আবার,
    z‾1+z‾2=(3−3i)+(4−5i)=7−8i\overline{z}_1 + \overline{z}_2 = (3 - 3i) + (4 - 5i) = 7 - 8i

    ∴z1+z2‾=z‾1+z‾2\therefore \overline{z_1 + z_2} = \overline{z}_1 + \overline{z}_2 (দেখানো হলো)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
    ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 এবং bx2+cx+a=0bx^2 + cx + a = 0

    ধরি, সাধারণ মূলটি α\alpha।
    তাহলে,
    aα2+bα+c=0a\alpha^2 + b\alpha + c = 0
    bα2+cα+a=0b\alpha^2 + c\alpha + a = 0

    বজ্রগুণন করে পাই,
    α2ab−c2=αbc−a2=1ca−b2\frac{\alpha^2}{ab - c^2} = \frac{\alpha}{bc - a^2} = \frac{1}{ca - b^2}

      ⟹  α=ab−c2bc−a2\implies \alpha = \frac{ab - c^2}{bc - a^2} এবং α=bc−a2ca−b2\alpha = \frac{bc - a^2}{ca - b^2}

    ∴ab−c2bc−a2=bc−a2ca−b2\therefore \frac{ab - c^2}{bc - a^2} = \frac{bc - a^2}{ca - b^2}
      ⟹  (bc−a2)2=(ab−c2)(ca−b2)\implies (bc - a^2)^2 = (ab - c^2)(ca - b^2)
      ⟹  b2c2−2a2bc+a4=a2bc−ab3−ac3+b2c2\implies b^2c^2 - 2a^2bc + a^4 = a^2bc - ab^3 - ac^3 + b^2c^2
      ⟹  a4+ab3+ac3−3a2bc=0\implies a^4 + ab^3 + ac^3 - 3a^2bc = 0
      ⟹  a(a3+b3+c3−3abc)=0\implies a(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = 0

    যেহেতু a≠0a \neq 0,
    ∴a3+b3+c3−3abc=0\therefore a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0
      ⟹  a3+b3+c3=3abc\implies a^3 + b^3 + c^3 = 3abc (দেখানো হলো)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত ত্রিঘাত সমীকরণ: 8x3−36x2+22x+21=08x^3 - 36x^2 + 22x + 21 = 0

    যেহেতু মূলত্রয় সমান্তর প্রগমনে রয়েছে, ধরি মূলগুলো α−d,α,α+d\alpha - d, \alpha, \alpha + d।

    মূলত্রয়ের যোগফল:
    (α−d)+α+(α+d)=−−368=92(\alpha - d) + \alpha + (\alpha + d) = -\frac{-36}{8} = \frac{9}{2}
      ⟹  3α=92  ⟹  α=32\implies 3\alpha = \frac{9}{2} \implies \alpha = \frac{3}{2}

    মূলত্রয়ের গুণফল:
    (α−d)α(α+d)=−218(\alpha - d)\alpha(\alpha + d) = -\frac{21}{8}
      ⟹  32(94−d2)=−218\implies \frac{3}{2}\left(\frac{9}{4} - d^2\right) = -\frac{21}{8}
      ⟹  94−d2=−74\implies \frac{9}{4} - d^2 = -\frac{7}{4}
      ⟹  d2=94+74=4  ⟹  d=±2\implies d^2 = \frac{9}{4} + \frac{7}{4} = 4 \implies d = \pm 2

    d=2d = 2 হলে মূলগুলো: −12,32,72-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{7}{2}
    d=−2d = -2 হলেও মূলগুলো: 72,32,−12\frac{7}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}

    অতএব, নির্ণেয় মূলগুলো: −12,32,72-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{7}{2}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন