$4e^x + 9e^{-x}$ এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে?

Question

Accepted Answer

ক. 12

ব্যাখ্যা: আমরা জানি, যে কোনো বাস্তব সংখ্যা $x$-এর জন্য $e^x > 0$। ফলে $4e^x$ এবং $9e^{-x}$ উভয়ই ধনাত্মক সংখ্যা।

ধনাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রে সমান্তরীয় গড় ও গুণোত্তরীয় গড়ের সম্পর্ক (AM $\ge$ GM) ব্যবহার করে পাই:
$$\frac{4e^x + 9e^{-x}}{2} \ge \sqrt{4e^x \cdot 9e^{-x}}$$
$$\implies \frac{4e^x + 9e^{-x}}{2} \ge \sqrt{36} = 6$$
$$\implies 4e^x + 9e^{-x} \ge 12$$

এখানে সমতা বজায় থাকবে যখন $4e^x = 9e^{-x}$ বা $e^{2x} = \frac{9}{4} \implies e^x = \frac{3}{2}$ বা $x = \ln\left(\frac{3}{2}\right)$, যা একটি বাস্তব মান।
অতএব, রাশিটির ক্ষুদ্রতম মান ১২।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন