The value of the determinant $\displaystyle \left | \begin{matrix} 1 &\omega ^{3} &\omega ^{5} \ \omega ^{3}&1 &\omega ^{4} \ \omega ^{5}&\omega ^{4} &1 \end{matrix} ight |$ , where $\omega$ is an imaginary cube root of unity, is-

Question

The value of the determinant $\displaystyle \left | \begin{matrix} 1 &\omega ^{3} &\omega ^{5} \ \omega ^{3}&1 &\omega ^{4} \ \omega ^{5}&\omega ^{4} &1 \end{matrix} ight |$ , where $\omega$ is an imaginary cube root of unity, is-

Accepted Answer

খ. 3

ব্যাখ্যা: আমরা জানি, $\omega^3 = 1$, $\omega^4 = \omega$, এবং $\omega^5 = \omega^2$।
অতএব নির্ণায়কটি দাঁড়ায়:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \omega^2 \ 1 & 1 & \omega \ \omega^2 & \omega & 1 \end{vmatrix}$
বিস্তার করে পাই:
$1(1 - \omega^2) - 1(1 - \omega^3) + \omega^2(\omega - \omega^2)$
$= 1 - \omega^2 - (1 - 1) + \omega^3 - \omega^4$
$= 1 - \omega^2 - 0 + 1 - \omega$
$= 2 - (\omega + \omega^2)$
যেহেতু $1 + \omega + \omega^2 = 0 \implies \omega + \omega^2 = -1$,
সুতরাং মান $= 2 - (-1) = 3$।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন