গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $a + b + c = 0$ হলে $a + b = -c$।
   ঘন করে $(a+b)^3 = -c^3$ বা $a^3 + b^3 + 3ab(a+b) = -c^3$
   বা $a^3 + b^3 + 3ab(-c) = -c^3$ বা $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$। (প্রমাণিত)

2. খ)

   দেওয়া আছে $\dfrac{6}{y} = \dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{m+n}{mn}$, তাই $y = \dfrac{6mn}{m+n}$।
   তাহলে $\dfrac{y}{3m} = \dfrac{2n}{m+n}$ এবং $\dfrac{y}{3n} = \dfrac{2m}{m+n}$।
   $\dfrac{y+3m}{y-3m} = \dfrac{\frac{y}{3m}+1}{\frac{y}{3m}-1} = \dfrac{2n + (m+n)}{2n - (m+n)} = \dfrac{m+3n}{n-m}$
   $\dfrac{y+3n}{y-3n} = \dfrac{2m + (m+n)}{2m - (m+n)} = \dfrac{3m+n}{m-n} = -\dfrac{3m+n}{n-m}$
   যোগ করে $\dfrac{m+3n-3m-n}{n-m} = \dfrac{2n-2m}{n-m} = 2$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   $m^2 - \dfrac{2m}{x} + 1 = 0$ থেকে $m^2 + 1 = \dfrac{2m}{x}$, অর্থাৎ $m + \dfrac{1}{m} = \dfrac{2}{x}$।
   যোজন-বিয়োজন করে $\dfrac{m+\frac{1}{m}+2}{m+\frac{1}{m}-2} = \dfrac{\frac{2}{x}+2}{\frac{2}{x}-2}$
   বা $\dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2} = \dfrac{1+x}{1-x}$
   বা $\dfrac{m+1}{m-1} = \dfrac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}$ (ধনাত্মক বর্গমূল নিয়ে)
   আবার যোজন-বিয়োজন করে $\dfrac{(m+1)+(m-1)}{(m+1)-(m-1)} = \dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$
   বা $\dfrac{2m}{2} = \dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$
   অতএব, $m = \dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$। (দেখানো হলো)